Номер 50, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Большая сторона треугольника равна 5 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

50. Большая сторона треугольника равна 5 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть градусные меры дуг, на которые вписанная окружность делится точками касания, равны $2x$, $3x$ и $4x$. Сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^\circ$.

Составим и решим уравнение:
$2x + 3x + 4x = 360^\circ$
$9x = 360^\circ$
$x = 40^\circ$

Следовательно, градусные меры дуг равны:

• $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$
• $3 \cdot 40^\circ = 120^\circ$
• $4 \cdot 40^\circ = 160^\circ$

Углы треугольника ($A$, $B$, $C$) связаны с градусными мерами дуг вписанной окружности ($\text{дуга}_A$, $\text{дуга}_B$, $\text{дуга}_C$), заключенных между точками касания на сторонах, образующих эти углы, по формуле: $A = 180^\circ - \text{дуга}_A$.

Найдем углы треугольника:

• $A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$
• $B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
• $C = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$

Проверим сумму углов: $100^\circ + 60^\circ + 20^\circ = 180^\circ$.

В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. По условию, большая сторона треугольника равна 5 см. Следовательно, она лежит напротив наибольшего угла, равного $100^\circ$.

Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, противолежащие углам $A, B, C$ соответственно. Тогда $a=5$ см. Для нахождения двух других сторон, $b$ и $c$, применим теорему синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Подставим известные значения:
$\frac{5}{\sin 100^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 20^\circ}$

Выразим неизвестные стороны $b$ и $c$:
$b = 5 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 100^\circ}$
$c = 5 \cdot \frac{\sin 20^\circ}{\sin 100^\circ}$

Ответ: неизвестные стороны треугольника равны $\frac{5 \sin 60^\circ}{\sin 100^\circ}$ см и $\frac{5 \sin 20^\circ}{\sin 100^\circ}$ см.