Номер 36, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. В треугольнике $ABC$ $AB = c$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$. Найдите стороны $BC$ и $AC$.

36. В треугольнике $ABC$ $AB = c$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$. Найдите стороны $BC$ и $AC$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла постоянно. Для треугольника $ABC$ это записывается так:

$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

По условию задачи нам даны: сторона $AB = c$, угол $\angle A = \alpha$ и угол $\angle C = \gamma$.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$

Теперь, зная все углы и одну сторону, мы можем найти остальные стороны, используя теорему синусов.

BC

Чтобы найти сторону $BC$, воспользуемся пропорцией, связывающей стороны $AB$ и $BC$ с противолежащими им углами $\angle C$ и $\angle A$:

$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

Подставим известные значения:

$ \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} $

Выразим из этого соотношения сторону $BC$.

Ответ: $ BC = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} $

AC

Чтобы найти сторону $AC$, воспользуемся пропорцией, связывающей стороны $AB$ и $AC$ с противолежащими им углами $\angle C$ и $\angle B$:

$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

Подставим известные значения и найденный угол $\angle B$:

$ \frac{AC}{\sin(180^\circ - (\alpha + \gamma))} = \frac{c}{\sin \gamma} $

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем $\sin(180^\circ - (\alpha + \gamma)) = \sin(\alpha + \gamma)$. Тогда соотношение принимает вид:

$ \frac{AC}{\sin(\alpha + \gamma)} = \frac{c}{\sin \gamma} $

Выразим из этого соотношения сторону $AC$.

Ответ: $ AC = \frac{c \sin(\alpha + \gamma)}{\sin \gamma} $