Номер 84, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 6 см, а радиус окружности, вписанной в него, — $3\sqrt{2}$ см. Найдите сторону многоугольника и количество его сторон.

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 6 см, а радиус окружности, вписанной в него, — $3\sqrt{2}$ см. Найдите сторону многоугольника и количество его сторон.

Для решения задачи воспользуемся формулами, связывающими радиус описанной окружности ($R$), радиус вписанной окружности ($r$), сторону ($a_n$) и число сторон ($n$) правильного многоугольника.

Основные соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном радиусами $R$ (гипотенуза), $r$ (катет) и половиной стороны $a_n/2$ (второй катет):

$r = R \cos(\frac{180^\circ}{n})$

$ \frac{a_n}{2} = R \sin(\frac{180^\circ}{n}) \implies a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$

Дано: $R = 6$ см, $r = 3\sqrt{2}$ см.

Сначала найдем количество сторон многоугольника $n$. Для этого используем формулу, связывающую $R$ и $r$:

$r = R \cos(\frac{180^\circ}{n})$

Подставим известные значения:

$3\sqrt{2} = 6 \cdot \cos(\frac{180^\circ}{n})$

Отсюда найдем значение косинуса:

$\cos(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$. Следовательно:

$\frac{180^\circ}{n} = 45^\circ$

Теперь найдем $n$:

$n = \frac{180^\circ}{45^\circ} = 4$

Таким образом, данный многоугольник является правильным четырехугольником (квадратом).

Ответ: количество сторон многоугольника равно 4.

Теперь, зная количество сторон $n=4$, мы можем найти длину стороны $a_n$ (в данном случае $a_4$). Воспользуемся формулой:

$a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$

Подставим значения $R = 6$ и $n = 4$:

$a_4 = 2 \cdot 6 \cdot \sin(\frac{180^\circ}{4}) = 12 \cdot \sin(45^\circ)$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$a_4 = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см

Ответ: сторона многоугольника равна $6\sqrt{2}$ см.