Номер 89, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Найдите сторону правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, если его диагональ $A_2A_4$ равна 8 см.

89. Найдите сторону правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, если его диагональ $A_2A_4$ равна 8 см.

Пусть сторона правильного восьмиугольника $A_1A_2...A_8$ равна a.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_2A_3A_4$. В этом треугольнике стороны $A_2A_3$ и $A_3A_4$ являются сторонами восьмиугольника, поэтому их длины равны a. Сторона $A_2A_4$ является диагональю, и по условию ее длина равна 8 см.

Угол $\angle A_2A_3A_4$ является внутренним углом правильного восьмиугольника. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для восьмиугольника, где $n=8$:

$\angle A_2A_3A_4 = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Так как треугольник $\triangle A_2A_3A_4$ равнобедренный ($A_2A_3 = A_3A_4 = a$), мы можем применить к нему теорему косинусов для нахождения стороны a. Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$(A_2A_4)^2 = (A_2A_3)^2 + (A_3A_4)^2 - 2 \cdot (A_2A_3) \cdot (A_3A_4) \cdot \cos(\angle A_2A_3A_4)$

Подставим известные значения в формулу:

$8^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(135^\circ)$

$64 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(135^\circ)$

Вынесем $2a^2$ за скобки:

$64 = 2a^2(1 - \cos(135^\circ))$

Значение косинуса $135^\circ$ равно: $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение в наше уравнение:

$64 = 2a^2(1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2}))$

$64 = 2a^2(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

$64 = 2a^2(\frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

$64 = a^2(2 + \sqrt{2})$

Теперь выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{64}{2 + \sqrt{2}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{2})$:

$a^2 = \frac{64(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{64(2 - \sqrt{2})}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{64(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{64(2 - \sqrt{2})}{2} = 32(2 - \sqrt{2})$

$a^2 = 64 - 32\sqrt{2}$

Найдём длину стороны a, извлекая квадратный корень:

$a = \sqrt{64 - 32\sqrt{2}}$

Можно также вынести общий множитель из-под корня для упрощения:

$a = \sqrt{16(4 - 2\sqrt{2})} = 4\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $4\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}$ см.