Вариант 5*, страница 69 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 3. Потенциал электрического поля. Разность потенциалов. Работа в электрическом поле. Электростатика. Электродинамика - страница 69.

Условие.

Вариант 5*

1. Два точечных заряда $2 \text{ нКл}$ и $-2 \text{ нКл}$ располагаются на расстоянии $6 \text{ см}$ друг от друга в вакууме. Определите напряжённость и потенциал электрического поля в точке, расположенной в середине расстояния между ними.

2. Электрон под действием электрического поля разогнался из состояния покоя до скорости $1 \text{ км/с}$, пройдя расстояние $5 \text{ мм}$. Определите напряжённость электрического поля.

Решение.

1. Дано:

$q_1 = 2 \text{ нКл} = 2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = -2 \text{ нКл} = -2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$\text{E}$ - напряжённость, $\varphi$ - потенциал.

Решение:

Точка, в которой нужно определить напряжённость и потенциал, находится посередине между зарядами. Расстояние от каждого заряда до этой точки одинаково и равно:

$r = \frac{R}{2} = \frac{0.06 \text{ м}}{2} = 0.03 \text{ м}$

Напряжённость электрического поля – векторная величина. Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая напряжённость $\vec{E}$ в данной точке равна векторной сумме напряжённостей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$, создаваемых зарядами $q_1$ и $q_2$ соответственно:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$

Вектор напряжённости $\vec{E_1}$, создаваемый положительным зарядом $q_1$, направлен от заряда. Вектор $\vec{E_2}$, создаваемый отрицательным зарядом $q_2$, направлен к заряду. В точке посередине между зарядами оба вектора направлены в одну и ту же сторону (в сторону отрицательного заряда). Поэтому модуль результирующей напряжённости равен сумме модулей:

$E = E_1 + E_2$

Модуль напряжённости поля точечного заряда находится по формуле:

$E_{i} = k \frac{|q_i|}{r^2}$

Так как модули зарядов равны ($|q_1| = |q_2|$) и расстояния до точки одинаковы, то модули напряжённостей также равны $E_1 = E_2$.

$E_1 = k \frac{|q_1|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-9}}{(0.03)^2} = \frac{18}{9 \cdot 10^{-4}} = 2 \cdot 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Тогда суммарная напряжённость:

$E = E_1 + E_2 = 2 \cdot E_1 = 2 \cdot (2 \cdot 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}}) = 4 \cdot 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Потенциал электрического поля – скалярная величина. Результирующий потенциал $\varphi$ в точке равен алгебраической сумме потенциалов $\varphi_1$ и $\varphi_2$, создаваемых каждым зарядом:

$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$

Потенциал поля точечного заряда находится по формуле:

$\varphi_i = k \frac{q_i}{r}$

$\varphi = k \frac{q_1}{r} + k \frac{q_2}{r} = \frac{k}{r}(q_1 + q_2)$

Подставим значения:

$\varphi = \frac{9 \cdot 10^9}{0.03}(2 \cdot 10^{-9} - 2 \cdot 10^{-9}) = \frac{9 \cdot 10^9}{0.03} \cdot 0 = 0 \text{ В}$

Ответ: напряжённость поля $E = 4 \cdot 10^4 \text{ В/м}$, потенциал $\varphi = 0 \text{ В}$.

2. Дано:

$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (состояние покоя)

$v = 1 \text{ км/с} = 1000 \text{ м/с}$

$d = 5 \text{ мм} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$ (масса электрона)

$|e| \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (модуль заряда электрона)

Найти:

$\text{E}$ - напряжённость электрического поля.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой о кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа, совершённая силой электрического поля над электроном, равна изменению его кинетической энергии:

$A = \Delta K$

Изменение кинетической энергии электрона, который начал движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), равно:

$\Delta K = K_{конечн} - K_{начальн} = \frac{m_e v^2}{2} - \frac{m_e v_0^2}{2} = \frac{m_e v^2}{2}$

Работа $\text{A}$ электрического поля по перемещению заряда $|e|$ на расстояние $\text{d}$ в однородном поле с напряжённостью $\text{E}$ равна произведению силы на перемещение:

$A = F \cdot d$

Сила, действующая на электрон в электрическом поле, равна:

$F = |e| E$

Следовательно, работа поля равна:

$A = |e| E d$

Приравниваем изменение кинетической энергии и работу:

$\frac{m_e v^2}{2} = |e| E d$

Из этого уравнения выразим напряжённость поля $\text{E}$:

$E = \frac{m_e v^2}{2 |e| d}$

Подставим числовые значения и произведём расчёт:

$E = \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (1000 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 10^6}{16 \cdot 10^{-22}} = \frac{9.1 \cdot 10^{-25}}{1.6 \cdot 10^{-21}} \approx 5.69 \cdot 10^{-4} \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Ответ: напряжённость электрического поля $E \approx 5.69 \cdot 10^{-4} \text{ В/м}$.