Номер 6, страница 41, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 6, страница 41.

Условие.

°6. Найдите пути, проходимые свободно падающим без начальной скорости телом за первую, вторую, третью и четвёртую секунды падения. Заметили ли вы простую закономерность?

Решение 2.

Дано:

Движение: свободное падение
Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с
Ускорение: $a = g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$s_1$ — путь за первую секунду падения
$s_2$ — путь за вторую секунду падения
$s_3$ — путь за третью секунду падения
$s_4$ — путь за четвертую секунду падения
Закономерность в полученных результатах.

Решение:

Общая формула для пути, пройденного телом при равноускоренном движении из состояния покоя ($v_0 = 0$), имеет вид: $s(t) = \frac{at^2}{2}$. Для свободного падения $a=g$, поэтому формула принимает вид: $s(t) = \frac{gt^2}{2}$. Эта формула позволяет рассчитать расстояние, пройденное телом от начала движения за время $\text{t}$.

Чтобы найти путь, пройденный за конкретный интервал времени, например, за $\text{n}$-ю секунду, необходимо найти разность между путем, пройденным за $\text{n}$ секунд, и путем, пройденным за $n-1$ секунд: $s_n = s(t=n) - s(t=n-1)$.

За первую секунду

Путь, пройденный за первую секунду ($n=1$), равен пути, пройденному за все время $t=1$ с: $s_1 = s(1) - s(0) = \frac{g \cdot (1 \text{ с})^2}{2} - 0 = \frac{g}{2}$. Подставив значение $g \approx 9.8$ м/с², получим: $s_1 = \frac{9.8 \text{ м/с}^2}{2} = 4.9 \text{ м}$.
Ответ: за первую секунду тело пройдет путь $4.9$ м.

За вторую секунду

Путь, пройденный за вторую секунду ($n=2$), рассчитывается как разность путей за 2 с и за 1 с: $s_2 = s(2) - s(1) = \frac{g \cdot (2 \text{ с})^2}{2} - \frac{g \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = \frac{4g}{2} - \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$. $s_2 = 3 \cdot \frac{g}{2} = 3 \cdot 4.9 \text{ м} = 14.7 \text{ м}$.
Ответ: за вторую секунду тело пройдет путь $14.7$ м.

За третью секунду

Путь, пройденный за третью секунду ($n=3$): $s_3 = s(3) - s(2) = \frac{g \cdot (3 \text{ с})^2}{2} - \frac{g \cdot (2 \text{ с})^2}{2} = \frac{9g}{2} - \frac{4g}{2} = \frac{5g}{2}$. $s_3 = 5 \cdot \frac{g}{2} = 5 \cdot 4.9 \text{ м} = 24.5 \text{ м}$.
Ответ: за третью секунду тело пройдет путь $24.5$ м.

За четвертую секунду

Путь, пройденный за четвертую секунду ($n=4$): $s_4 = s(4) - s(3) = \frac{g \cdot (4 \text{ с})^2}{2} - \frac{g \cdot (3 \text{ с})^2}{2} = \frac{16g}{2} - \frac{9g}{2} = \frac{7g}{2}$. $s_4 = 7 \cdot \frac{g}{2} = 7 \cdot 4.9 \text{ м} = 34.3 \text{ м}$.
Ответ: за четвертую секунду тело пройдет путь $34.3$ м.

Закономерность

Сравним пути, пройденные за каждую секунду:
$s_1 = 4.9 \text{ м}$
$s_2 = 14.7 \text{ м}$
$s_3 = 24.5 \text{ м}$
$s_4 = 34.3 \text{ м}$

Найдем отношение этих путей, разделив каждый результат на значение пути за первую секунду $s_1 = 4.9$ м:
$s_1 : s_2 : s_3 : s_4 = 4.9 : 14.7 : 24.5 : 34.3$
$s_1 : s_2 : s_3 : s_4 = \frac{4.9}{4.9} : \frac{14.7}{4.9} : \frac{24.5}{4.9} : \frac{34.3}{4.9}$
$s_1 : s_2 : s_3 : s_4 = 1 : 3 : 5 : 7$

Ответ: Пути, проходимые свободно падающим телом без начальной скорости за последовательные равные промежутки времени (в данном случае, за каждую секунду), относятся как ряд последовательных нечетных чисел ($1:3:5:7:\dots$).