Номер 7, страница 56, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 7, страница 56.

Условие.

7. Используя подобие треугольников на рисунках 5.7, а и 5.7, б, докажите, что $a = \frac{v^2}{r}$.

Итак, при равномерном движении со скоростью $\text{v}$ по окружности радиусом $\text{r}$ тело движется с центростремительным ускорением, направленным в каждой точке к центру окружности и равным по модулю $a = \frac{v^2}{r}$.

Центростремительное ускорение можно выразить также через радиус окружности $\text{r}$ и период обращения $\text{T}$: это поможет при решении задач. Для этого надо сначала выразить скорость тела $\text{v}$ через $\text{r}$ и $\text{T}$.

Решение 2.

Решение

Рассмотрим тело, которое движется равномерно (с постоянной по модулю скоростью) по окружности радиусом $\text{r}$. Пусть в начальный момент времени $t_1$ тело находится в точке $P_1$, а в момент времени $t_2$ — в точке $P_2$. Промежуток времени равен $\Delta t = t_2 - t_1$.

Положение тела в этих точках можно описать радиус-векторами $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$, проведенными из центра окружности O. Вектор перемещения тела за время $\Delta t$ равен $\Delta \vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$. Векторы $\vec{r_1}$, $\vec{r_2}$ и $\Delta \vec{r}$ образуют треугольник $OP_1P_2$. Поскольку движение происходит по окружности, $|\vec{r_1}| = |\vec{r_2}| = r$, следовательно, этот треугольник является равнобедренным. Угол между радиус-векторами обозначим $\Delta \varphi$.

Скорость тела в точках $P_1$ и $P_2$ направлена по касательной к окружности и характеризуется векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$. Так как движение равномерное, модули скоростей одинаковы: $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v$. Изменение вектора скорости за время $\Delta t$ равно $\Delta \vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}$. Векторы $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ и $\Delta \vec{v}$ также образуют треугольник. Так как вектор скорости всегда перпендикулярен радиус-вектору, при повороте радиус-вектора на угол $\Delta \varphi$, вектор скорости также поворачивается на тот же угол $\Delta \varphi$. Следовательно, треугольник, образованный векторами скоростей, также является равнобедренным с углом $\Delta \varphi$ между равными сторонами $\text{v}$.

Таким образом, мы имеем два подобных равнобедренных треугольника (по углу между равными сторонами): треугольник $OP_1P_2$ со сторонами $r, r, |\Delta \vec{r}|$ и треугольник векторов скорости со сторонами $v, v, |\Delta \vec{v}|$.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин соответствующих сторон у них равно:

$\frac{|\Delta \vec{v}|}{v} = \frac{|\Delta \vec{r}|}{r}$

Разделим обе части этого уравнения на промежуток времени $\Delta t$:

$\frac{|\Delta \vec{v}|}{v \cdot \Delta t} = \frac{|\Delta \vec{r}|}{r \cdot \Delta t}$

Выразим из этого равенства величину $\frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t}$, которая представляет собой модуль среднего ускорения за время $\Delta t$:

$\frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} = \frac{v}{r} \cdot \frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t}$

Для нахождения модуля мгновенного ускорения $\text{a}$ необходимо рассмотреть предел этого выражения при $\Delta t \to 0$.

$a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t}$

При $\Delta t \to 0$ точка $P_2$ неограниченно приближается к $P_1$, и длина хорды $|\Delta \vec{r}|$ становится равной длине дуги $\Delta s$, которую проходит тело. Отношение $\frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t}$ в пределе становится равным модулю мгновенной скорости $\text{v}$:

$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = v$

Переходя к пределу в уравнении для среднего ускорения, получаем:

$a = \lim_{\Delta t \to 0} \left(\frac{v}{r} \cdot \frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t}\right) = \frac{v}{r} \cdot \left(\lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t}\right)$

Подставляя значение предела, приходим к искомой формуле:

$a = \frac{v}{r} \cdot v = \frac{v^2}{r}$

Это выражение является формулой для модуля центростремительного ускорения.

Ответ: Используя подобие треугольника, образованного радиус-векторами и вектором перемещения, и треугольника, образованного векторами скорости и вектором изменения скорости, было доказано, что модуль центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности определяется формулой $a = \frac{v^2}{r}$.