Номер 5, страница 54, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 5, страница 54.

Условие.

5. К какому углу стремится угол между $\vec{v_1}$ и $\Delta\vec{v}$, когда угол $\Delta\alpha$ стремится к нулю?

Итак, при равномерном движении по окружности вектор изменения скорости за очень малый промежуток времени $\Delta t$ перпендикулярен скорости тела в данный момент времени. А это означает, что вектор $\Delta\vec{v}$ направлен по радиусу окружности, причём, как видно из рисунков 5.5, а, б, — к центру окружности.

Направление ускорения $\vec{a}$ совпадает с направлением изменения скорости $\Delta\vec{v}$. Значит, при равномерном движении тела по окружности его ускорение в каждой точке направлено к центру окружности (рис. 5.6). Это ускорение называют центростремительным.

Рис. 5.6

Решение 2.

5. К какому углу стремится угол между $\vec{v_1}$ и $\Delta \vec{v}$, когда угол $\Delta \alpha$ стремится к нулю?

Решение

Рассмотрим равномерное движение тела по окружности. Пусть в момент времени $t_1$ скорость тела равна $\vec{v_1}$, а в близкий к нему момент времени $t_2 = t_1 + \Delta t$ скорость равна $\vec{v_2}$. При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен: $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v$. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории. Угол $\Delta \alpha$ — это угол, на который поворачивается радиус-вектор тела за время $\Delta t$. На такой же угол поворачивается и вектор скорости, то есть угол между векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ равен $\Delta \alpha$.

Изменение скорости $\Delta \vec{v}$ за промежуток времени $\Delta t$ определяется как векторная разность: $\Delta \vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}$.

Чтобы найти угол между $\vec{v_1}$ и $\Delta \vec{v}$, рассмотрим треугольник, образованный этими векторами. Если совместить начала векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, то вектор $\Delta \vec{v}$ будет соединять их концы, будучи направленным от конца вектора $\vec{v_1}$ к концу вектора $\vec{v_2}$. В результате мы получаем равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны по модулю $|\vec{v_1}|$ и $|\vec{v_2}|$, а основание — $|\Delta \vec{v}|$. Угол при вершине этого треугольника, между равными сторонами, равен $\Delta \alpha$.

Углы при основании этого равнобедренного треугольника равны между собой. Обозначим искомый угол между вектором $\vec{v_1}$ и вектором $\Delta \vec{v}$ как $\theta$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Таким образом, для нашего треугольника векторов скоростей справедливо соотношение:

$\Delta \alpha + \theta + \theta = 180^\circ$

Отсюда находим $\theta$:

$2\theta = 180^\circ - \Delta \alpha$

$\theta = \frac{180^\circ - \Delta \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\Delta \alpha}{2}$

Теперь найдем, к какому значению стремится угол $\theta$, когда угол $\Delta \alpha$ стремится к нулю ($\Delta \alpha \rightarrow 0$). Это соответствует рассмотрению бесконечно малого промежутка времени ($\Delta t \rightarrow 0$):

$\lim_{\Delta \alpha \to 0} \theta = \lim_{\Delta \alpha \to 0} \left( 90^\circ - \frac{\Delta \alpha}{2} \right) = 90^\circ$

Следовательно, когда угол $\Delta \alpha$ стремится к нулю, угол между вектором скорости $\vec{v_1}$ и вектором изменения скорости $\Delta \vec{v}$ стремится к $90^\circ$. Это означает, что в любой момент времени вектор мгновенного ускорения (направление которого совпадает с направлением $\Delta \vec{v}$ при $\Delta t \rightarrow 0$) перпендикулярен вектору мгновенной скорости.

Ответ: Угол стремится к $90^\circ$.