Номер 70, страница 52, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 70, страница 52.

Условие.

70. Саша бросил мяч под углом $60^\circ$ к горизонту с начальной скоростью 9 м/с.

а) Через какие промежутки времени после броска проекции скорости мяча $v_x$ и $v_y$ станут равными по модулю?

б) Чему равен модуль скорости мяча в эти моменты времени?

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 9$ м/с
Угол броска, $\alpha = 60°$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

а) Моменты времени $\text{t}$, когда $|v_x| = |v_y|$
б) Модуль скорости $\text{v}$ в эти моменты времени

Решение:

Движение мяча, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтальной оси X и равноускоренное по вертикальной оси Y с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз.

Найдем проекции начальной скорости на оси координат:
$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$
$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Зависимость проекций скорости от времени $\text{t}$ описывается следующими уравнениями:
Горизонтальная проекция скорости $v_x$ не изменяется со временем (сопротивление воздуха не учитываем):
$v_x(t) = v_{0x} = v_0 \cos\alpha$
Вертикальная проекция скорости $v_y$ изменяется из-за действия силы тяжести:
$v_y(t) = v_{0y} - gt = v_0 \sin\alpha - gt$

а) Через какие промежутки времени после броска проекции скорости мяча $v_x$ и $v_y$ станут равными по модулю?

Требуется найти моменты времени $\text{t}$, для которых выполняется условие $|v_x(t)| = |v_y(t)|$.
Так как $v_x$ постоянна и положительна, то $|v_x| = v_x = v_0 \cos\alpha$.
Условие принимает вид: $v_0 \cos\alpha = |v_0 \sin\alpha - gt|$.

Это уравнение распадается на два случая:

1) $v_y(t) > 0$. Мяч движется вверх. В этом случае $v_y(t) = v_x(t)$.
$v_0 \cos\alpha = v_0 \sin\alpha - gt_1$
Выразим отсюда время $t_1$:
$gt_1 = v_0 (\sin\alpha - \cos\alpha)$
$t_1 = \frac{v_0(\sin\alpha - \cos\alpha)}{g}$
Подставим числовые значения:
$t_1 = \frac{9 \cdot (\sin 60° - \cos 60°)}{9.8} = \frac{9 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})}{9.8} \approx \frac{9 \cdot (0.866 - 0.5)}{9.8} = \frac{9 \cdot 0.366}{9.8} \approx \frac{3.294}{9.8} \approx 0.336$ с.

2) $v_y(t) < 0$. Мяч движется вниз. В этом случае $v_y(t) = -v_x(t)$.
$-(v_0 \cos\alpha) = v_0 \sin\alpha - gt_2$
Выразим отсюда время $t_2$:
$gt_2 = v_0 (\sin\alpha + \cos\alpha)$
$t_2 = \frac{v_0(\sin\alpha + \cos\alpha)}{g}$
Подставим числовые значения:
$t_2 = \frac{9 \cdot (\sin 60° + \cos 60°)}{9.8} = \frac{9 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2})}{9.8} \approx \frac{9 \cdot (0.866 + 0.5)}{9.8} = \frac{9 \cdot 1.366}{9.8} \approx \frac{12.294}{9.8} \approx 1.254$ с.

Ответ: Проекции скорости станут равными по модулю в моменты времени $t_1 \approx 0.34$ с и $t_2 \approx 1.25$ с после броска.

б) Чему равен модуль скорости мяча в эти моменты времени?

Модуль скорости (полная скорость) мяча в любой момент времени находится по теореме Пифагора для проекций скорости:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

В найденные моменты времени $t_1$ и $t_2$ выполняется условие $|v_x| = |v_y|$.
Значение горизонтальной проекции скорости постоянно и равно:
$v_x = v_0 \cos\alpha = 9 \cdot \cos 60° = 9 \cdot 0.5 = 4.5$ м/с.
Следовательно, в искомые моменты времени $|v_y| = 4.5$ м/с.

Тогда модуль скорости будет одинаковым в оба момента времени и равным:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(4.5)^2 + (4.5)^2} = \sqrt{2 \cdot (4.5)^2} = 4.5\sqrt{2}$ м/с.
Вычислим числовое значение:
$v \approx 4.5 \cdot 1.414 \approx 6.363$ м/с.

Ответ: Модуль скорости мяча в эти моменты времени равен $v \approx 6.36$ м/с.