Номер 66, страница 51, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 66, страница 51.

Условие.

66. После удара футбольный мяч пролетает над воротами, слегка касаясь горизонтальной планки в верхней точке траектории через 0,7 с после удара. Чему равна начальная скорость мяча, если расстояние от футболиста до ворот равно 6,4 м? Примите, что размером мяча и толщиной планки можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

Время полета до верхней точки $t = 0,7 \text{ с}$

Горизонтальное расстояние до ворот $L = 6,4 \text{ м}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Начальную скорость мяча $v_0$.

Решение:

Движение мяча является движением тела, брошенного под углом к горизонту. Такое движение можно разложить на два независимых: равномерное движение вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси (Oy) с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз.

Начальная скорость $v_0$ имеет две составляющие: горизонтальную $v_{0x}$ и вертикальную $v_{0y}$.

1. Рассмотрим движение по горизонтали.

Так как по горизонтали движение равномерное, то горизонтальная составляющая скорости $v_{0x}$ постоянна. Расстояние $\text{L}$, которое пролетел мяч по горизонтали за время $\text{t}$, вычисляется по формуле:

$L = v_{0x} \cdot t$

Выразим из этой формулы $v_{0x}$:

$v_{0x} = \frac{L}{t} = \frac{6,4 \text{ м}}{0,7 \text{ с}} = \frac{64}{7} \text{ м/с}$

2. Рассмотрим движение по вертикали.

По вертикали мяч движется равноускоренно с начальной скоростью $v_{0y}$ и ускорением $-g$. Зависимость вертикальной скорости от времени описывается уравнением:

$v_y(t) = v_{0y} - gt$

В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю ($v_y = 0$). По условию, мяч достигает этой точки за время $t = 0,7 \text{ с}$. Подставим эти значения в уравнение:

$0 = v_{0y} - g \cdot t$

Отсюда найдем начальную вертикальную составляющую скорости:

$v_{0y} = g \cdot t = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,7 \text{ с} = 7 \text{ м/с}$

3. Найдем начальную скорость.

Полная начальная скорость $v_0$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются $v_{0x}$ и $v_{0y}$. По теореме Пифагора:

$v_0^2 = v_{0x}^2 + v_{0y}^2$

$v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2}$

Подставим вычисленные значения составляющих:

$v_0 = \sqrt{\left(\frac{64}{7}\right)^2 + 7^2} = \sqrt{\frac{4096}{49} + 49} = \sqrt{\frac{4096 + 2401}{49}} = \sqrt{\frac{6497}{49}}$

$v_0 \approx \sqrt{132,6} \approx 11,515 \text{ м/с}$

Округлим результат до десятых.

Ответ: начальная скорость мяча равна приблизительно $11,5 \text{ м/с}$.