Номер 68, страница 51, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 68, страница 51.

Условие.

68. С какой начальной скоростью надо бросить вертикально вверх камень, чтобы на высоте $\text{h}$ он побывал с интервалом времени $\tau$?

Решение 2.

Дано:

Высота $\text{h}$

Интервал времени $τ$

Ускорение свободного падения $\text{g}$

Найти:

Начальную скорость $v_0$

Решение:

Запишем уравнение движения камня, брошенного вертикально вверх. Выберем систему отсчета, связанную с землей, с осью $OY$, направленной вертикально вверх, и началом координат в точке броска. В этом случае зависимость высоты камня $\text{y}$ от времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

где $v_0$ — искомая начальная скорость, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Камень окажется на высоте $\text{h}$ в два различных момента времени: $t_1$ (при движении вверх) и $t_2$ (при движении вниз). Чтобы найти эти моменты времени, приравняем $y(t)$ к $\text{h}$:

$h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Мы получили квадратное уравнение относительно времени $\text{t}$. Приведем его к стандартному виду $at^2+bt+c=0$:

$\frac{g}{2}t^2 - v_0 t + h = 0$

Корни этого уравнения $t_1$ и $t_2$ находятся по общей формуле:

$t_{1,2} = \frac{-(-v_0) \pm \sqrt{(-v_0)^2 - 4 \cdot \frac{g}{2} \cdot h}}{2 \cdot \frac{g}{2}} = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}$

Таким образом, первый раз камень будет на высоте $\text{h}$ в момент времени $t_1$, а второй раз — в момент $t_2$:

$t_1 = \frac{v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}$

$t_2 = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}$

По условию задачи, интервал времени между этими двумя событиями равен $τ$. Следовательно:

$τ = t_2 - t_1 = \left(\frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}\right) - \left(\frac{v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}\right)$

$τ = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2gh} - v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g} = \frac{2\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}$

Теперь из полученного соотношения выразим начальную скорость $v_0$.

$gτ = 2\sqrt{v_0^2 - 2gh}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(gτ)^2 = 4(v_0^2 - 2gh)$

$g^2τ^2 = 4v_0^2 - 8gh$

Выразим $4v_0^2$:

$4v_0^2 = g^2τ^2 + 8gh$

Разделим на 4:

$v_0^2 = \frac{g^2τ^2}{4} + 2gh$

Наконец, извлечем квадратный корень, чтобы найти $v_0$. Поскольку начальная скорость направлена вверх (в положительном направлении оси $OY$), мы берем положительное значение корня.

$v_0 = \sqrt{2gh + \frac{g^2τ^2}{4}}$

Ответ: $v_0 = \sqrt{2gh + \frac{g^2τ^2}{4}}$