Номер 31, страница 81, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 31, страница 81.

Условие.

31. Астронавт высадился на небольшую планету радиусом $R = 3000 \text{ км}$, лишённую атмосферы. Поверхность планеты оказалась усеянной небольшими камешками, и астронавт стал бросать их под разными углами к горизонту с начальной скоростью $v_0 = 15 \text{ м/с}$. Все камешки упали на расстоянии от космонавта, не превышающем $l = 45 \text{ м}$. Чему равна средняя плотность этой планеты?

Спутники связи, с которых транслируют телевизионные программы, движутся вокруг Земли так, что всё время находятся над одной и той же точкой поверхности Земли, как бы участвуя в её суточном вращении. Орбиту, по которой движется такой спутник, называют геостационарной.

Решение 2.

Дано:

$R = 3000 \text{ км} = 3 \cdot 10^6 \text{ м}$

$v_0 = 15 \text{ м/с}$

$l = 45 \text{ м}$

$G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Найти:

$\rho$ - средняя плотность планеты.

Решение:

Движение брошенного камня является движением тела под углом к горизонту. Дальность полета $\text{L}$ тела, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $\text{g}$ – ускорение свободного падения на планете.

Максимальная дальность полета $\text{l}$ достигается при угле броска $\alpha = 45^\circ$, так как при этом значении $\sin(2\alpha) = \sin(90^\circ) = 1$. Таким образом, максимальное расстояние, на которое улетел камень, равно:

$l = \frac{v_0^2}{g}$

Отсюда мы можем выразить ускорение свободного падения на поверхности планеты:

$g = \frac{v_0^2}{l}$

С другой стороны, ускорение свободного падения на поверхности планеты радиусом $\text{R}$ и массой $\text{M}$ определяется законом всемирного тяготения:

$g = \frac{GM}{R^2}$

Массу планеты $\text{M}$ можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $\text{V}$. Считая планету шаром, ее объем равен:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Тогда масса планеты:

$M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим выражение для массы в формулу для ускорения свободного падения:

$g = \frac{G}{R^2} \left(\rho \frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{4}{3}\pi G \rho R$

Теперь приравняем два полученных выражения для $\text{g}$:

$\frac{v_0^2}{l} = \frac{4}{3}\pi G \rho R$

Выразим из этого уравнения среднюю плотность планеты $\rho$:

$\rho = \frac{3 v_0^2}{4 \pi G R l}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\rho = \frac{3 \cdot (15 \text{ м/с})^2}{4 \cdot 3.14 \cdot (6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot (3 \cdot 10^6 \text{ м}) \cdot 45 \text{ м}}$

$\rho = \frac{3 \cdot 225}{4 \cdot 3.14 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 3 \cdot 10^6 \cdot 45} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho = \frac{675}{11304 \cdot 10^{-5}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 0.0597 \cdot 10^5 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 5970 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: Средняя плотность планеты равна приблизительно $5970 \text{ кг/м}^3$.