Номер 26, страница 80, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 26, страница 80.

Условие.

26. Используя Интернет, найдите радиусы орбит и периоды обращения планет Солнечной системы. Используя знания, приобретённые на уроках информатики, составьте программу для проверки выполнения третьего закона Кеплера для всех планет. Запишите полученные вами результаты.

Средней плотностью планеты называют отношение массы планеты $\text{M}$ к её объёму $\text{V}$.

Решение 2.

Для проверки третьего закона Кеплера необходимо выполнить три шага: собрать данные о планетах, написать программу для их обработки (или провести расчеты вручную) и проанализировать полученные результаты.

1. Данные о планетах Солнечной системы

Третий закон Кеплера гласит, что отношение квадрата периода обращения планеты ($\text{T}$) к кубу большой полуоси её орбиты ($\text{a}$) есть величина постоянная для всех планет, вращающихся вокруг одной звезды. Формула закона:

$\frac{T^2}{a^3} = const$

Для удобства расчетов будем использовать периоды обращения в земных годах и большие полуоси орбит в астрономических единицах (а.е.). 1 а.е. равна среднему расстоянию от Земли до Солнца.

Ниже приведена таблица с исходными данными, найденными в открытых источниках (NASA, Wikipedia).

Планета	Большая полуось, $\text{a}$ (а.е.)	Сидерический период, $\text{T}$ (земных суток)	Сидерический период, $\text{T}$ (земных лет)
Меркурий	0.387	87.97	0.241
Венера	0.723	224.70	0.615
Земля	1.000	365.25	1.000
Марс	1.524	686.98	1.881
Юпитер	5.203	4332.59	11.862
Сатурн	9.537	10759.22	29.457
Уран	19.191	30688.50	84.020
Нептун	30.069	60182.00	164.774

2. Программа для проверки выполнения третьего закона Кеплера

Ниже приведен пример программы на языке Python, которая вычисляет отношение $T^2/a^3$ для каждой планеты.

# Данные планет: (название, большая полуось в а.е., период в земных годах)planets_data = [ ("Меркурий", 0.387, 0.241), ("Венера", 0.723, 0.615), ("Земля", 1.000, 1.000), ("Марс", 1.524, 1.881), ("Юпитер", 5.203, 11.862), ("Сатурн", 9.537, 29.457), ("Уран", 19.191, 84.020), ("Нептун", 30.069, 164.774)]print("Проверка третьего закона Кеплера")print("-" * 50)print(f'{"Планета":<10} | {"T (годы)":^10} | {"a (а.е.)":^10} | {"T^2/a^3":^15}')print("-" * 50)# Цикл для вычисления и вывода результатовfor name, a, T in planets_data: if a > 0: kepler_ratio = (T**2) / (a**3) print(f'{name:<10} | {T:^10.3f} | {a:^10.3f} | {kepler_ratio:^15.4f}')

Решение

Выполним расчеты, которые производит данная программа, и сведем результаты в таблицу. Нам нужно для каждой планеты вычислить квадрат периода ($T^2$), куб большой полуоси ($a^3$) и их отношение $k = T^2/a^3$.

Планета	$\text{T}$ (лет)	$\text{a}$ (а.е.)	$T^2$ (лет²)	$a^3$ (а.е.³)	Отношение $k = T^2/a^3$
Меркурий	0.241	0.387	0.058	0.058	1.002
Венера	0.615	0.723	0.378	0.378	1.000
Земля	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000
Марс	1.881	1.524	3.538	3.540	0.999
Юпитер	11.862	5.203	140.707	140.852	0.999
Сатурн	29.457	9.537	867.716	867.452	1.000
Уран	84.020	19.191	7059.360	7068.341	0.999
Нептун	164.774	30.069	27150.473	27186.733	0.999

Как показывают результаты, полученные с помощью расчетов, значение отношения $T^2/a^3$ для всех планет Солнечной системы практически постоянно и равно приблизительно 1 (при использовании выбранных единиц измерения). Незначительные отклонения от единицы обусловлены погрешностью исходных данных и тем, что в упрощенной модели не учитываются массы самих планет и их гравитационное влияние друг на друга.

Ответ: Третий закон Кеплера для планет Солнечной системы выполняется с высокой точностью. Отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси орбиты является постоянной величиной ($const \approx 1 \frac{год^2}{а.е.^3}$).