Номер 20, страница 79, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 20, страница 79.

Условие.

º20. Используя справочные данные, докажите, что первая космическая скорость равна примерно 8 км/с.

Решение 2.

Дано:

Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$
Средний радиус Земли $R_З \approx 6400 \, \text{км}$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \, \text{км} = 6400 \times 1000 \, \text{м} = 6.4 \times 10^6 \, \text{м}$

Найти:

$v_1$ — первая космическая скорость

Решение:

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты в горизонтальном направлении, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Для движения тела по круговой орбите вблизи поверхности Земли сила всемирного тяготения, действующая на него, должна создавать центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения к произведению массы тела на центростремительное ускорение:

$F_{тяг} = m \cdot a_{ц.с.}$

Сила тяготения вблизи поверхности Земли равна $F_{тяг} = mg$, а центростремительное ускорение для круговой орбиты равно $a_{ц.с.} = \frac{v_1^2}{R_З}$, где $v_1$ — искомая первая космическая скорость, а $R_З$ — радиус Земли.

Приравниваем выражения:

$mg = \frac{m v_1^2}{R_З}$

Сократив массу тела $\text{m}$, получим:

$g = \frac{v_1^2}{R_З}$

Выразим из этой формулы первую космическую скорость:

$v_1 = \sqrt{g R_З}$

Теперь подставим в полученную формулу справочные значения:

$v_1 = \sqrt{9.8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \times 6.4 \times 10^6 \, \text{м}} = \sqrt{62.72 \times 10^6 \, \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 7919.6 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переведем полученное значение в километры в секунду, разделив его на 1000:

$v_1 \approx \frac{7919.6}{1000} \, \frac{\text{км}}{\text{с}} \approx 7.92 \, \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Полученное значение примерно равно 8 км/с, что и требовалось доказать.

Ответ: Расчет по формуле первой космической скорости с использованием справочных данных ($g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$, $R_З \approx 6400 \, \text{км}$) дает значение $v_1 \approx 7.92 \, \text{км/с}$, что приблизительно равно 8 км/с.