Номер 21, страница 79, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 21, страница 79.

Условие.

21. Выразите первую космическую скорость через гравитационную постоянную, массу Земли и её радиус.

Решение 2.

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная горизонтальная скорость, которую необходимо сообщить объекту у поверхности планеты, чтобы он стал её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Для того чтобы тело двигалось по круговой орбите, на него должна действовать центростремительная сила. В данном случае роль центростремительной силы выполняет гравитационная сила притяжения Земли.

Дано:

$\text{G}$ - гравитационная постоянная

$\text{M}$ - масса Земли

$\text{R}$ - радиус Земли (он же радиус круговой орбиты)

$\text{m}$ - масса тела (спутника)

Найти:

$v_1$ - первую космическую скорость.

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение ($F = ma$). Для спутника, движущегося по круговой орбите, сила — это гравитационная сила ($F_g$), а ускорение — это центростремительное ускорение ($a_ц$).

Запишем это в виде уравнения:

$F_g = m a_ц$

Гравитационная сила, действующая на спутник, определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M m}{R^2}$

Центростремительное ускорение для тела, движущегося по окружности радиусом $\text{R}$ со скоростью $v_1$, равно:

$a_ц = \frac{v_1^2}{R}$

Приравняем выражения для сил, подставив формулы для гравитационной силы и центростремительного ускорения:

$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v_1^2}{R}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ в обеих частях уравнения, так как она не влияет на значение первой космической скорости:

$G \frac{M}{R^2} = \frac{v_1^2}{R}$

Теперь умножим обе части на радиус $\text{R}$, чтобы упростить выражение:

$G \frac{M}{R} = v_1^2$

Наконец, чтобы выразить скорость $v_1$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Таким образом, мы выразили первую космическую скорость через гравитационную постоянную, массу Земли и её радиус.

Ответ: $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$