Номер 25, страница 80, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 25, страница 80.

Условие.

25. Используя соотношение, связывающее период обращения планеты $\text{T}$ с радиусом её орбиты $\text{R}$, составьте из $\text{T}$ и $\text{R}$ выражение, которое не зависит ни от $\text{T}$, ни от $\text{R}$.

Решение 2.

Решение

Соотношение, связывающее период обращения планеты $\text{T}$ с радиусом ее орбиты $\text{R}$, определяется третьим законом Кеплера. Этот закон утверждает, что для всех планет, вращающихся вокруг одной и той же звезды, отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси орбиты есть величина постоянная. Для круговой орбиты большая полуось равна радиусу $\text{R}$.

Математически это записывается как:

$\frac{T^2}{R^3} = \text{const}$

Чтобы убедиться, что эта величина действительно не зависит от характеристик планеты (таких как $\text{T}$ и $\text{R}$), а только от массы центрального тела (звезды), выведем это соотношение. Движение планеты по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает планете центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{грав} = F_{цс}$

$G \frac{M m}{R^2} = m a_{цс}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса звезды, $\text{m}$ — масса планеты, $a_{цс}$ — центростремительное ускорение.

Центростремительное ускорение равно $a_{цс} = \frac{v^2}{R}$, где $\text{v}$ — орбитальная скорость планеты. Скорость можно выразить через период обращения: $v = \frac{2 \pi R}{T}$. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{\left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2}{R}$

$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2 R}$

Сократим массу планеты $\text{m}$ и упростим выражение:

$G \frac{M}{R^2} = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$

Теперь перегруппируем члены так, чтобы выделить отношение с $\text{T}$ и $\text{R}$:

$G M T^2 = 4 \pi^2 R^3$

Отсюда получаем искомое выражение:

$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4 \pi^2}{G M}$

Правая часть этого равенства состоит из фундаментальных констант ($\text{G}$, $\pi$) и массы центрального тела $\text{M}$. Она не зависит ни от периода $\text{T}$, ни от радиуса орбиты $\text{R}$ конкретной планеты. Таким образом, выражение $\frac{T^2}{R^3}$ является искомым.

Ответ: Искомое выражение, составленное из $\text{T}$ и $\text{R}$, которое не зависит ни от $\text{T}$, ни от $\text{R}$, имеет вид $\frac{T^2}{R^3}$.