Номер 30, страница 80, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 30, страница 80.

Условие.

30. Астронавты далёкого будущего обнаружили три планеты, движущиеся вокруг некоторой звезды. Астронавты назвали новые планеты A, B, C и облетели их на низких орбитах при выключенных двигателях (то есть превращая свой космический корабль в искусственный спутник каждой планеты).

Периоды обращения вокруг планет оказались равными $T_A = 55 \text{ мин}$, $T_B = 106 \text{ мин}$, $T_C = 72 \text{ мин}$. У какой (или каких) планет средняя плотность больше плотности Земли?

Решение 2.

Дано:

Период обращения корабля вокруг планеты A: $T_A = 55$ мин

Период обращения корабля вокруг планеты B: $T_B = 106$ мин

Период обращения корабля вокруг планеты C: $T_C = 72$ мин

Орбиты корабля низкие, что означает, что радиус орбиты $\text{r}$ примерно равен радиусу планеты $\text{R}$ ($r \approx R$).

Средняя плотность Земли: $\rho_{Земли} \approx 5515 \text{ кг/м}^3$

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Перевод в систему СИ:

$T_A = 55 \text{ мин} = 55 \cdot 60 \text{ с} = 3300 \text{ с}$

$T_B = 106 \text{ мин} = 106 \cdot 60 \text{ с} = 6360 \text{ с}$

$T_C = 72 \text{ мин} = 72 \cdot 60 \text{ с} = 4320 \text{ с}$

Найти:

У какой из планет (A, B, C) средняя плотность $\rho$ больше средней плотности Земли $\rho_{Земли}$?

Решение:

Когда космический корабль движется по низкой круговой орбите, он является искусственным спутником планеты. Движение по такой орбите описывается равенством гравитационной силы, действующей на корабль со стороны планеты, и центростремительной силы:

$F_g = F_ц$

$\frac{G M m}{r^2} = m a_ц = m \frac{v^2}{r}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{m}$ — масса корабля, $\text{r}$ — радиус орбиты, $\text{v}$ — орбитальная скорость.

Поскольку орбита низкая, ее радиус $\text{r}$ можно считать равным радиусу планеты $\text{R}$ ($r \approx R$). Орбитальная скорость $\text{v}$ связана с периодом обращения $\text{T}$ соотношением $v = \frac{2 \pi R}{T}$. Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{G M}{R^2} = \frac{(2 \pi R / T)^2}{R} = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$

Массу планеты $\text{M}$ можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ (считая планету шаром):

$M = \rho \cdot V = \rho \frac{4}{3} \pi R^3$

Теперь подставим это выражение для массы в уравнение движения:

$\frac{G}{R^2} \left( \rho \frac{4}{3} \pi R^3 \right) = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$

После сокращения одинаковых членов ($4, \pi, R$) в обеих частях уравнения получаем:

$G \rho \frac{1}{3} = \frac{\pi}{T^2}$

Отсюда можно выразить среднюю плотность планеты $\rho$:

$\rho = \frac{3 \pi}{G T^2}$

Из полученной формулы следует, что средняя плотность планеты обратно пропорциональна квадрату периода обращения спутника на низкой орбите ($ \rho \propto \frac{1}{T^2} $). Это означает, что чем меньше период обращения, тем больше плотность планеты.

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сравнить периоды обращения вокруг планет A, B и C с минимальным периодом обращения спутника вокруг Земли ($T_{Земли}$). Если период обращения вокруг некоторой планеты меньше, чем вокруг Земли ($T_{планеты} < T_{Земли}$), то ее плотность будет больше плотности Земли ($\rho_{планеты} > \rho_{Земли}$).

Рассчитаем минимальный период обращения спутника вокруг Земли, используя известное значение ее средней плотности $\rho_{Земли} \approx 5515 \text{ кг/м}^3$:

$T_{Земли} = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho_{Земли}}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 3.14159}{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 5515}} \approx \sqrt{\frac{9.4248}{3.680 \cdot 10^{-7}}} \approx \sqrt{2.56 \cdot 10^7} \approx 5060 \text{ с}$

Переведем это значение в минуты:

$T_{Земли} \approx \frac{5060 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} \approx 84.3 \text{ мин}$

Теперь сравним заданные периоды с полученным значением для Земли:

Планета A: $T_A = 55 \text{ мин}$. Так как $55 \text{ мин} < 84.3 \text{ мин}$, то $T_A < T_{Земли}$, следовательно, плотность планеты A больше плотности Земли ($\rho_A > \rho_{Земли}$).

Планета B: $T_B = 106 \text{ мин}$. Так как $106 \text{ мин} > 84.3 \text{ мин}$, то $T_B > T_{Земли}$, следовательно, плотность планеты B меньше плотности Земли ($\rho_B < \rho_{Земли}$).

Планета C: $T_C = 72 \text{ мин}$. Так как $72 \text{ мин} < 84.3 \text{ мин}$, то $T_C < T_{Земли}$, следовательно, плотность планеты C больше плотности Земли ($\rho_C > \rho_{Земли}$).

Ответ:

Средняя плотность больше плотности Земли у планет A и C.