Номер 36, страница 81, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 36, страница 81.

Условие.

36. На какой высоте над поверхностью Земли находится орбита спутника связи?

Получив ответ последней задачи, оцените уровень современной техники: обычная спутниковая антенна устойчиво принимает сигнал с такого огромного расстояния!

Решение 2.

Дано:

Спутник связи находится на геостационарной орбите.

Период обращения спутника, $T = 23 \text{ ч } 56 \text{ мин } 4 \text{ с}$ (сидерические сутки)

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли, $M_З \approx 5.972 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Радиус Земли (на экваторе), $R_З \approx 6378 \text{ км}$

$T = 23 \cdot 3600 \text{ c} + 56 \cdot 60 \text{ c} + 4 \text{ c} = 86164 \text{ с}$
$R_З = 6378 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.378 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Высоту орбиты над поверхностью Земли, $\text{h}$.

Решение:

Спутник связи, находящийся на геостационарной орбите, вращается с той же угловой скоростью, что и Земля. Это позволяет ему оставаться неподвижным относительно точки на земной поверхности. Движение спутника по круговой орбите обеспечивается силой всемирного тяготения, которая выступает в роли центростремительной силы.

Запишем второй закон Ньютона для спутника массой $\text{m}$ на орбите радиусом $\text{r}$ (расстояние от центра Земли):

$F_г = F_ц$

$G\frac{M_З m}{r^2} = m a_ц$

где $a_ц$ — центростремительное ускорение. Его можно выразить через период обращения $\text{T}$:

$a_ц = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Подставим выражение для ускорения в уравнение сил и сократим массу спутника $\text{m}$:

$G\frac{M_З}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Выразим из этого уравнения радиус орбиты $\text{r}$:

$r^3 = \frac{G M_З T^2}{4\pi^2}$

$r = \sqrt[3]{\frac{G M_З T^2}{4\pi^2}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$r = \sqrt[3]{\frac{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 5.972 \cdot 10^{24} \cdot (86164)^2}{4\pi^2}} \approx \sqrt[3]{\frac{2.959 \cdot 10^{24}}{39.48}} \approx \sqrt[3]{7.495 \cdot 10^{22}} \approx 4.216 \cdot 10^7 \text{ м}$

Это расстояние от центра Земли до спутника. Чтобы найти высоту $\text{h}$ над поверхностью, нужно вычесть из радиуса орбиты $\text{r}$ радиус Земли $R_З$:

$h = r - R_З$

$h \approx 4.216 \cdot 10^7 \text{ м} - 6.378 \cdot 10^6 \text{ м} \approx 3.578 \cdot 10^7 \text{ м}$

Переведем результат в километры:

$h \approx 35780 \text{ км}$

Округляя, получаем общепринятое значение высоты геостационарной орбиты.

Ответ: Высота орбиты спутника связи над поверхностью Земли составляет приблизительно 36 000 км.

Полученный результат показывает, что спутники связи находятся на огромном расстоянии от Земли, сопоставимом с тремя диаметрами нашей планеты. Возможность принимать устойчивый сигнал с такого расстояния с помощью обычных бытовых антенн свидетельствует о высочайшем уровне развития современных технологий в области радиосвязи, включая мощность передатчиков на спутниках, чувствительность приемников и эффективность направленных антенных систем.