Номер 29, страница 80, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 29, страница 80.

Условие.

29. Найдите выражение для периода обращения искусственного спутника, движущегося вокруг планеты радиусом $\text{R}$ и средней плотностью $\rho$ на низкой орбите.

Решение 2.

Дано:

Радиус планеты - $\text{R}$

Средняя плотность планеты - $ρ$

Спутник находится на низкой орбите.

Гравитационная постоянная - $\text{G}$

Найти:

Период обращения спутника - $\text{T}$

Решение:

Движение искусственного спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения $F_g$ и центростремительную силу $F_c$:

$F_g = F_c$

Сила всемирного тяготения, действующая на спутник массой $\text{m}$ со стороны планеты массой $\text{M}$, равна:

$F_g = G \frac{Mm}{r^2}$

где $\text{r}$ - радиус орбиты спутника.

Центростремительная сила, удерживающая спутник на орбите, выражается как:

$F_c = m a_c = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r$

где $\text{v}$ - орбитальная скорость спутника, а $\omega$ - его угловая скорость.

Приравняем выражения для сил:

$G \frac{Mm}{r^2} = m \omega^2 r$

Сократив массу спутника $\text{m}$, получим:

$G \frac{M}{r^3} = \omega^2$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $\text{T}$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это в наше уравнение:

$G \frac{M}{r^3} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$

По условию, спутник движется по "низкой орбите". Это означает, что высота орбиты над поверхностью планеты пренебрежимо мала по сравнению с радиусом планеты $\text{R}$. Следовательно, мы можем принять радиус орбиты $\text{r}$ равным радиусу планеты $\text{R}$:

$r \approx R$

Тогда уравнение примет вид:

$G \frac{M}{R^3} = \frac{4\pi^2}{T^2}$

Выразим отсюда квадрат периода обращения:

$T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$

Теперь необходимо выразить массу планеты $\text{M}$ через её среднюю плотность $ρ$ и радиус $\text{R}$. Предполагая, что планета имеет форму шара, её объём $\text{V}$ равен:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Тогда масса планеты:

$M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим полученное выражение для массы $\text{M}$ в формулу для $T^2$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{G \left(\rho \frac{4}{3}\pi R^3\right)}$

Теперь упростим это выражение. Сокращаем $4\pi R^3$ в числителе и знаменателе:

$T^2 = \frac{\pi}{G \frac{\rho}{3}} = \frac{3\pi}{G\rho}$

Чтобы найти период $\text{T}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$T = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$

Ответ: $T = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$