Номер 35, страница 81, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 35, страница 81.

Условие.

35. Найдите, чему равен радиус орбиты спутника связи.

Решение 2.

Спутник связи, как правило, является геостационарным спутником. Это означает, что он вращается на круговой орбите в плоскости экватора Земли с периодом, равным периоду вращения Земли вокруг своей оси (сидерические сутки). Благодаря этому спутник «зависает» над одной и той же точкой земной поверхности.

Для нахождения радиуса орбиты необходимо приравнять силу всемирного тяготения, действующую на спутник со стороны Земли, и центростремительную силу, которая удерживает спутник на круговой орбите.

Дано:

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Масса Земли: $M \approx 5.972 \times 10^{24} \text{ кг}$

Период обращения спутника (равен сидерическим суткам): $T = 23 \text{ ч } 56 \text{ мин } 4 \text{ с}$

$T = 23 \cdot 3600 \text{ с} + 56 \cdot 60 \text{ с} + 4 \text{ с} = 86164 \text{ с}$

Найти:

Радиус орбиты $\text{r}$

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, сила гравитационного притяжения Земли сообщает спутнику центростремительное ускорение. Для движения по круговой орбите эта сила равна центростремительной силе:

$F_g = F_c$

Сила всемирного тяготения определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{m}$ – масса спутника, $\text{r}$ – радиус орбиты.

Центростремительная сила, действующая на спутник, равна:

$F_c = m a_c = m \omega^2 r$

где $\omega$ – угловая скорость спутника. Угловая скорость связана с периодом обращения $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Приравнивая силы:

$G \frac{M m}{r^2} = m \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 r$

Масса спутника $\text{m}$ сокращается:

$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2}{T^2} r$

Выразим радиус орбиты $\text{r}$:

$r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}$

$r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt[3]{\frac{(6.674 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2) \cdot (5.972 \times 10^{24} \text{ кг}) \cdot (86164 \text{ с})^2}{4 \cdot (3.14159)^2}}$

$r = \sqrt[3]{\frac{(3.986 \times 10^{14} \text{ м}^3/\text{с}^2) \cdot (7.424 \times 10^9 \text{ с}^2)}{39.478}}$

$r = \sqrt[3]{\frac{2.959 \times 10^{24} \text{ м}^3}{39.478}}$

$r = \sqrt[3]{7.495 \times 10^{22} \text{ м}^3}$

$r \approx 4.22 \times 10^7 \text{ м}$

Переведем в километры для наглядности:

$r \approx 42200 \text{ км}$

Ответ: радиус орбиты спутника связи (геостационарной орбиты) равен приблизительно $4.22 \cdot 10^7 \text{ м}$ или $42200 \text{ км}$.