Номер 42, страница 82, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 42, страница 82.

Условие.

42. Чему равно ускорение свободного падения в точке, находящейся на высоте над поверхностью Земли, равной диаметру Земли?

Решение 2.

Дано:

$h = D_З$ - высота над поверхностью Земли

$D_З$ - диаметр Земли

$R_З$ - радиус Земли, при этом $D_З = 2R_З$

$g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$ - ускорение свободного падения на поверхности Земли

Найти:

$g'$ - ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$.

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на некотором расстоянии $\text{r}$ от центра планеты массой $\text{M}$ определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ - гравитационная постоянная.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$. Ускорение свободного падения на поверхности ($g_0$) равно:

$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

В точке, находящейся на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли, расстояние до центра Земли будет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения в этой точке ($g'$) будет равно:

$g' = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи высота $\text{h}$ равна диаметру Земли $D_З$. Поскольку диаметр равен двум радиусам ($D_З = 2R_З$), то $h = 2R_З$.

Подставим это значение высоты в формулу для расстояния $\text{r}$ от центра Земли:

$r = R_З + h = R_З + 2R_З = 3R_З$

Теперь подставим новое расстояние $r = 3R_З$ в формулу для ускорения свободного падения $g'$:

$g' = G \frac{M_З}{(3R_З)^2} = G \frac{M_З}{9R_З^2}$

Чтобы найти, как $g'$ соотносится с $g_0$, мы можем переписать это выражение:

$g' = \frac{1}{9} \left( G \frac{M_З}{R_З^2} \right)$

Так как $g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$, получаем:

$g' = \frac{g_0}{9}$

Это означает, что ускорение свободного падения на высоте, равной диаметру Земли, в 9 раз меньше, чем на её поверхности.

Теперь вычислим его численное значение, используя $g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$:

$g' = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{9} \approx 1.09 \, \text{м/с}^2$

Ответ: Ускорение свободного падения на высоте, равной диаметру Земли, составляет $g' = \frac{g_0}{9} \approx 1.09 \, \text{м/с}^2$.