Номер 48, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 48, страница 83.

Условие.

48. Чему равна средняя плотность лишённой атмосферы планеты радиусом $3400 \text{ км}$, если в находящуюся на поверхности этой планеты пропасть глубиной $200 \text{ м}$ камешек падает до дна за $10 \text{ с}$? Начальная скорость камешка равна нулю.

Решение 2.

Дано:

Радиус планеты, $R = 3400 \text{ км} = 3400 \cdot 10^3 \text{ м} = 3.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Глубина пропасти, $h = 200 \text{ м}$

Время падения камешка, $t = 10 \text{ с}$

Начальная скорость камешка, $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Найти:

Средняя плотность планеты, $\rho$ - ?

Решение:

1. Сначала определим ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты. Так как планета лишена атмосферы, сопротивление воздуха отсутствует. Движение камешка является свободным падением. Глубина пропасти ($h=200$ м) намного меньше радиуса планеты ($R=3400$ км), поэтому ускорение свободного падения $\text{g}$ можно считать постоянной величиной.

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, описывается формулой:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим из этой формулы ускорение свободного падения $\text{g}$:

$g = \frac{2h}{t^2}$

Подставим известные значения:

$g = \frac{2 \cdot 200 \text{ м}}{(10 \text{ с})^2} = \frac{400 \text{ м}}{100 \text{ с}^2} = 4 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

2. Ускорение свободного падения на поверхности планеты также определяется ее массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$ согласно закону всемирного тяготения:

$g = \frac{GM}{R^2}$

3. Массу планеты $\text{M}$ можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $\text{V}$. Принимая планету за шар, ее объем равен:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Следовательно, масса равна:

$M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$

4. Теперь подставим выражение для массы $\text{M}$ в формулу для $\text{g}$:

$g = \frac{G(\rho \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3} G \rho \pi R$

5. Из полученного уравнения выразим искомую среднюю плотность планеты $\rho$:

$\rho = \frac{3g}{4\pi GR}$

6. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\rho = \frac{3 \cdot 4 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{4\pi \cdot (6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot (3.4 \cdot 10^6 \text{ м})}$

$\rho = \frac{12}{4 \cdot 3.14 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 3.4 \cdot 10^6} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx \frac{12}{2.85 \cdot 10^{-4}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 4210 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: средняя плотность планеты равна приблизительно $4210 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.