Номер 45, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 45, страница 83.

Условие.

45. На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения в 2 раза меньше, чем на её поверхности?

Решение 2.

Дано:

$g_h = \frac{g_0}{2}$

$R_З \approx 6400 \text{ км}$ (средний радиус Земли)

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра планеты массы $\text{M}$ определяется законом всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли.

На поверхности Земли расстояние от тела до центра планеты равно радиусу Земли $R_З$. Ускорение свободного падения на поверхности, которое мы обозначим $g_0$, равно:

$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

На искомой высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли, расстояние до центра планеты будет равно $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте, обозначим его $g_h$, будет равно:

$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

Согласно условию задачи, ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$ в 2 раза меньше, чем на поверхности:

$g_h = \frac{g_0}{2}$

Теперь подставим выражения для $g_h$ и $g_0$ в это соотношение:

$G \frac{M_З}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{2} \cdot \left(G \frac{M_З}{R_З^2}\right)$

Сократим одинаковые множители $\text{G}$ и $M_З$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{2R_З^2}$

Перевернем дроби (или воспользуемся свойством пропорции), чтобы избавиться от знаменателей:

$(R_З + h)^2 = 2R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $R_З$ и $\text{h}$ являются положительными величинами (расстояние и высота), нас интересует только положительный корень:

$R_З + h = \sqrt{2} \cdot R_З$

Выразим отсюда искомую высоту $\text{h}$:

$h = \sqrt{2}R_З - R_З$

$h = R_З(\sqrt{2} - 1)$

Мы получили формулу для вычисления высоты. Теперь подставим числовые значения. Для радиуса Земли возьмем округленное значение $R_З \approx 6400$ км. Значение $\sqrt{2} \approx 1.414$.

$h \approx 6400 \text{ км} \cdot (1.414 - 1) = 6400 \text{ км} \cdot 0.414$

$h \approx 2649.6 \text{ км}$

Округлив, получим $h \approx 2650$ км.

Ответ: высота, на которой ускорение свободного падения в 2 раза меньше, чем на поверхности Земли, составляет $h = R_З(\sqrt{2} - 1) \approx 2650$ км.