Номер 44, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 44, страница 83.

Условие.

44. Чему равны скорость движения и период обращения Нептуна вокруг Солнца, если радиус его орбиты примерно в 30 раз больше радиуса орбиты Земли?

Решение 2.

Дано:

Отношение радиуса орбиты Нептуна ($R_Н$) к радиусу орбиты Земли ($R_З$): $\frac{R_Н}{R_З} = 30$.

Для решения задачи используются справочные данные для планеты Земля:

Средняя орбитальная скорость Земли $v_З \approx 29.8$ км/с.

Период обращения Земли вокруг Солнца $T_З = 1$ год.

Перевод в СИ:

$v_З \approx 2.98 \cdot 10^4$ м/с.

$T_З \approx 3.156 \cdot 10^7$ с.

Найти:

$v_Н$ - скорость движения Нептуна.

$T_Н$ - период обращения Нептуна.

Решение:

Для решения задачи будем считать орбиты планет круговыми. В этом случае движение планет вокруг Солнца происходит под действием силы всемирного тяготения, которая является центростремительной силой.

Скорость движения

Запишем второй закон Ньютона для планеты массой $\text{m}$, движущейся по круговой орбите радиусом $\text{R}$ вокруг Солнца массой $M_С$. Сила гравитационного притяжения равна центростремительной силе:

$F_г = F_ц$

$G \frac{M_С m}{R^2} = \frac{m v^2}{R}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{v}$ — орбитальная скорость планеты.

Из этого уравнения выразим скорость $\text{v}$:

$v^2 = \frac{G M_С}{R} \implies v = \sqrt{\frac{G M_С}{R}}$

Как видно из формулы, орбитальная скорость обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты. Чтобы найти скорость Нептуна, составим отношение скоростей Нептуна ($v_Н$) и Земли ($v_З$):

$\frac{v_Н}{v_З} = \frac{\sqrt{G M_С / R_Н}}{\sqrt{G M_С / R_З}} = \sqrt{\frac{R_З}{R_Н}}$

По условию задачи $R_Н = 30 R_З$, следовательно, $\frac{R_З}{R_Н} = \frac{1}{30}$. Подставим это значение в отношение скоростей:

$\frac{v_Н}{v_З} = \sqrt{\frac{1}{30}}$

Отсюда находим скорость Нептуна:

$v_Н = v_З \cdot \sqrt{\frac{1}{30}} = \frac{v_З}{\sqrt{30}} \approx \frac{29.8 \text{ км/с}}{5.477} \approx 5.44$ км/с.

Ответ: скорость движения Нептуна вокруг Солнца примерно равна 5.44 км/с.

Период обращения

Для определения периода обращения Нептуна ($T_Н$) воспользуемся третьим законом Кеплера. Этот закон утверждает, что отношение квадратов периодов обращения двух планет равно отношению кубов больших полуосей их орбит (в нашем случае — радиусов):

$\frac{T_Н^2}{T_З^2} = \frac{R_Н^3}{R_З^3}$

Выразим из этого соотношения $T_Н$:

$T_Н^2 = T_З^2 \cdot \left(\frac{R_Н}{R_З}\right)^3 \implies T_Н = T_З \cdot \sqrt{\left(\frac{R_Н}{R_З}\right)^3} = T_З \cdot \left(\frac{R_Н}{R_З}\right)^{3/2}$

Подставим известные значения: $\frac{R_Н}{R_З} = 30$ и $T_З = 1$ год:

$T_Н = 1 \text{ год} \cdot (30)^{3/2} = 1 \text{ год} \cdot 30\sqrt{30} \approx 1 \text{ год} \cdot 30 \cdot 5.477 \approx 164.3$ года.

Ответ: период обращения Нептуна вокруг Солнца примерно равен 164.3 земных года.