Номер 49, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 49, страница 83.

Условие.

49. На какой высоте над поверхностью Луны ускорение свободного падения, обусловленное притяжением Луны, в 9 раз меньше, чем ускорение свободного падения вблизи поверхности Луны?

Решение 2.

Дано:

$g_0$ — ускорение свободного падения на поверхности Луны.

$g_h$ — ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$ над поверхностью Луны.

$\frac{g_0}{g_h} = 9$

$R_Л$ — радиус Луны (справочное значение $R_Л \approx 1737$ км).

Найти:

$\text{h}$ — ?

Решение:

Ускорение свободного падения, создаваемое телом массой $\text{M}$ на расстоянии $\text{r}$ от его центра, определяется по формуле, следующей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Ускорение свободного падения вблизи поверхности Луны ($g_0$) соответствует расстоянию от центра, равному радиусу Луны ($R_Л$):

$g_0 = G \frac{M_Л}{R_Л^2}$

где $M_Л$ — масса Луны.

На высоте $\text{h}$ над поверхностью Луны расстояние до её центра будет составлять $r = R_Л + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте ($g_h$) равно:

$g_h = G \frac{M_Л}{(R_Л + h)^2}$

Согласно условию задачи, ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$ в 9 раз меньше, чем у поверхности:

$g_h = \frac{g_0}{9}$

Подставим в это соотношение формулы для $g_h$ и $g_0$:

$G \frac{M_Л}{(R_Л + h)^2} = \frac{1}{9} \left( G \frac{M_Л}{R_Л^2} \right)$

Сократим общие множители $\text{G}$ и $M_Л$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{(R_Л + h)^2} = \frac{1}{9 R_Л^2}$

Перевернем дроби, чтобы избавиться от знаменателей:

$(R_Л + h)^2 = 9 R_Л^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $R_Л$ и $\text{h}$ — величины положительные, рассматриваем только положительное значение корня:

$R_Л + h = \sqrt{9 R_Л^2}$

$R_Л + h = 3 R_Л$

Выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = 3 R_Л - R_Л$

$h = 2 R_Л$

Таким образом, искомая высота равна двум радиусам Луны. Используя справочное значение радиуса Луны $R_Л \approx 1737$ км, найдем численное значение высоты:

$h = 2 \cdot 1737 \text{ км} = 3474 \text{ км}$

Ответ: высота, на которой ускорение свободного падения в 9 раз меньше, чем на поверхности Луны, равна двум радиусам Луны, $h = 2R_Л \approx 3474$ км.