Номер 47, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 47, страница 83.

Условие.

47. Найдите первую космическую скорость для планеты, радиус которой в 2 раза меньше радиуса Земли, а средняя плотность равна средней плотности Земли.

Решение 2.

Дано:

$R_п = \frac{1}{2} R_З$ (радиус планеты в 2 раза меньше радиуса Земли)

$\rho_п = \rho_З$ (средняя плотность планеты равна средней плотности Земли)

Известное значение: $v_{1З} \approx 7.9 \text{ км/с}$ (первая космическая скорость для Земли)

Найти:

$v_{1п}$ — первая космическая скорость для планеты.

Решение:

Первая космическая скорость (скорость движения по круговой орбите у поверхности планеты) определяется по формуле:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — радиус планеты.

Массу планеты можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $\text{V}$. Будем считать планету шаром, тогда ее объем равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Следовательно, масса планеты: $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим это выражение для массы в формулу первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho R^2} = R\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho}$

Из этой формулы видно, что первая космическая скорость прямо пропорциональна радиусу планеты и квадратному корню из ее плотности.

Запишем отношения первой космической скорости для планеты ($v_{1п}$) и для Земли ($v_{1З}$):

$\frac{v_{1п}}{v_{1З}} = \frac{R_п\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_п}}{R_З\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_З}}$

Так как $\rho_п = \rho_З$, множители под корнем сокращаются:

$\frac{v_{1п}}{v_{1З}} = \frac{R_п}{R_З}$

По условию задачи, $R_п = \frac{1}{2} R_З$, следовательно:

$\frac{v_{1п}}{v_{1З}} = \frac{\frac{1}{2} R_З}{R_З} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим первую космическую скорость для планеты:

$v_{1п} = \frac{1}{2} v_{1З}$

Подставим известное значение первой космической скорости для Земли ($v_{1З} \approx 7.9 \text{ км/с}$):

$v_{1п} = \frac{1}{2} \cdot 7.9 \text{ км/с} = 3.95 \text{ км/с}$

Ответ: первая космическая скорость для планеты равна $3.95 \text{ км/с}$.