Номер 50, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 50, страница 83.

Условие.

50. С какой минимальной скоростью относительно космодрома надо запустить искусственный спутник, если космодром находится на экваторе?

Решение 2.

Чтобы запустить искусственный спутник на околоземную орбиту, ему необходимо сообщить скорость, равную первой космической скорости ($v_1$) в инерциальной системе отсчета (например, связанной с центром Земли и далекими звездами). Однако запуск производится с поверхности Земли, которая сама вращается. Космодром, расположенный на экваторе, движется с максимальной для земной поверхности линейной скоростью из-за вращения планеты. Чтобы минимизировать скорость запуска относительно космодрома, необходимо запустить спутник в направлении вращения Земли (на восток). В этом случае скорость вращения Земли "поможет" спутнику набрать необходимую орбитальную скорость.

Таким образом, минимальная скорость запуска спутника относительно космодрома ($v_{отн}$) будет равна разности первой космической скорости ($v_1$) и линейной скорости вращения Земли на экваторе ($v_{вр}$).

Дано:

Гравитационная постоянная, $G = 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Масса Земли, $M_З = 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Экваториальный радиус Земли, $R_З = 6378 \text{ км} = 6.378 \cdot 10^6 \text{ м}$

Период вращения Земли (звездные сутки), $T = 23 \text{ ч } 56 \text{ мин } 4 \text{ с } = 86164 \text{ с}$

Найти:

$v_{отн}$ - минимальная скорость запуска спутника относительно космодрома.

Решение:

1. Найдем первую космическую скорость ($v_1$). Она определяется из условия, что сила всемирного тяготения, действующая на спутник, равна центростремительной силе, удерживающей его на круговой орбите:

$F_т = F_{цс}$

$G\frac{M_Зm}{R_З^2} = \frac{mv_1^2}{R_З}$

Отсюда первая космическая скорость равна:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Подставим числовые значения:

$v_1 = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5.97 \cdot 10^{24}}{6.378 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{62.4 \cdot 10^6} \approx 7900 \text{ м/с} = 7.9 \text{ км/с}$

2. Найдем линейную скорость вращения точки на экваторе Земли ($v_{вр}$). Она равна отношению длины экватора к периоду вращения Земли:

$v_{вр} = \frac{2\pi R_З}{T}$

Подставим числовые значения:

$v_{вр} = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 6.378 \cdot 10^6}{86164} \approx 465 \text{ м/с} = 0.465 \text{ км/с}$

3. Минимальная скорость запуска спутника относительно космодрома ($v_{отн}$) достигается при запуске в направлении вращения Земли и равна разности между первой космической скоростью и скоростью вращения Земли на экваторе:

$v_{отн} = v_1 - v_{вр}$

$v_{отн} = 7900 \text{ м/с} - 465 \text{ м/с} = 7435 \text{ м/с}$

Округляя, получаем примерно 7.44 км/с.

Ответ: Минимальная скорость, с которой надо запустить искусственный спутник относительно космодрома на экваторе, составляет примерно $7435 \text{ м/с}$ или $7.44 \text{ км/с}$.