Номер 41, страница 82, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 41, страница 82.

Условие.

41. Вычислите скорость движения по орбите и период обращения Юпитера вокруг Солнца. Расстояние от Солнца до Юпитера примите равным 778 млн км.

Решение 2.

Дано:

Расстояние от Солнца до Юпитера, $r = 778 \text{ млн км}$

Масса Солнца, $M_C \approx 2 \times 10^{30} \text{ кг}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$r = 778 \times 10^6 \text{ км} = 778 \times 10^9 \text{ м} = 7.78 \times 10^{11} \text{ м}$

Найти:

Орбитальная скорость, $v - ?$

Период обращения, $T - ?$

Решение:

При движении Юпитера вокруг Солнца по круговой орбите сила всемирного тяготения выполняет роль центростремительной силы. По второму закону Ньютона, мы можем приравнять эти силы.

Скорость движения по орбите

Сила тяготения ($F_g$) равна центростремительной силе ($F_c$):

$F_g = F_c$

$G \frac{M_C m_Ю}{r^2} = \frac{m_Ю v^2}{r}$

где $M_C$ — масса Солнца, $m_Ю$ — масса Юпитера, $\text{r}$ — радиус орбиты, $\text{v}$ — орбитальная скорость.

Сократив массу Юпитера $m_Ю$ и радиус $\text{r}$, получим формулу для вычисления орбитальной скорости:

$v = \sqrt{\frac{G M_C}{r}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times 2 \times 10^{30} \text{ кг}}{7.78 \times 10^{11} \text{ м}}} = \sqrt{\frac{13.34 \times 10^{19}}{7.78 \times 10^{11}}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{1.715 \times 10^8} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 13095 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Для удобства представим результат в километрах в секунду:

$v \approx 13.1 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: Скорость движения Юпитера по орбите составляет примерно $13.1 \text{ км/с}$.

Период обращения

Период обращения — это время одного полного оборота планеты вокруг Солнца. Его можно найти, разделив длину орбиты $L=2 \pi r$ на орбитальную скорость $\text{v}$.

$T = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим известные значения:

$T = \frac{2 \times 3.14 \times 7.78 \times 10^{11} \text{ м}}{13095 \frac{\text{м}}{\text{с}}} \approx \frac{4.8858 \times 10^{12}}{13095} \text{ с} \approx 3.73 \times 10^8 \text{ с}$

Чтобы лучше представить эту величину, переведем ее в земные годы. В одном году примерно $3.156 \times 10^7$ секунд.

$T \approx \frac{3.73 \times 10^8 \text{ с}}{3.156 \times 10^7 \frac{\text{с}}{\text{год}}} \approx 11.82 \text{ лет}$

Ответ: Период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет примерно $3.73 \times 10^8$ секунд, или около $11.8$ земных лет.