Номер 34, страница 81, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 34, страница 81.

Условие.

34. Выразите радиус $\text{r}$ орбиты спутника связи через ускорение свободного падения $\text{g}$ у поверхности Земли, её радиус и период её суточного обращения $\text{T}$.

Решение 2.

Дано:

$\text{g}$ — ускорение свободного падения у поверхности Земли
$\text{R}$ — радиус Земли (в задаче обозначен как «её радиус»)
$\text{T}$ — период суточного обращения Земли

Найти:

$\text{r}$ — радиус орбиты спутника связи

Решение:

Спутник связи, как правило, является геостационарным. Это означает, что он вращается по круговой орбите в экваториальной плоскости Земли с периодом, равным периоду суточного вращения Земли $\text{T}$.

На спутник, движущийся по орбите, действует единственная сила — сила всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение $a_c$. Согласно второму закону Ньютона:

$F_т = m \cdot a_c$

где $\text{m}$ — масса спутника.

Сила тяготения $F_т$ определяется законом всемирного тяготения:

$F_т = G \frac{M m}{r^2}$

Здесь $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, а $\text{r}$ — радиус орбиты спутника.

Центростремительное ускорение $a_c$ для движения по окружности с периодом $\text{T}$ выражается формулой:

$a_c = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Приравняем выражения для силы тяготения и центростремительной силы ($m \cdot a_c$):

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Сократив массу спутника $\text{m}$, получим:

$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Выразим из этого уравнения $r^3$:

$r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}$

Задача требует выразить $\text{r}$ через $\text{g}$, $\text{R}$ и $\text{T}$. Для этого необходимо исключить произведение $G M$. Ускорение свободного падения $\text{g}$ у поверхности Земли (радиусом $\text{R}$) связано с массой Земли $\text{M}$ следующим соотношением:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Отсюда выразим произведение $G M$:

$G M = g R^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для $r^3$:

$r^3 = \frac{(g R^2) T^2}{4\pi^2} = \frac{g R^2 T^2}{4\pi^2}$

Чтобы найти радиус орбиты $\text{r}$, извлечем кубический корень из обеих частей равенства:

$r = \sqrt[3]{\frac{g R^2 T^2}{4\pi^2}}$

Ответ: $r = \sqrt[3]{\frac{g R^2 T^2}{4\pi^2}}$