Номер 27, страница 80, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 27, страница 80.

Условие.

27. Выразите ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты через её радиус $\text{R}$ и среднюю плотность $\rho$.

Решение 2.

Дано:

R - радиус планеты

ρ - средняя плотность планеты

G - гравитационная постоянная

Найти:

g - ускорение свободного падения

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты определяется законом всемирного тяготения. Сила тяжести, действующая на тело массой $\text{m}$ на поверхности планеты, равна $F = mg$. Эта же сила является гравитационной силой притяжения между телом и планетой:

$F = G \frac{M m}{R^2}$

где $\text{M}$ – масса планеты, $\text{R}$ – радиус планеты, $\text{G}$ – гравитационная постоянная.

Приравнивая эти два выражения для силы, получаем формулу для ускорения свободного падения:

$mg = G \frac{M m}{R^2}$

$g = G \frac{M}{R^2}$

Массу планеты $\text{M}$ можно выразить через её среднюю плотность $ρ$ и объём $\text{V}$:

$M = \rho \cdot V$

Поскольку планета имеет форму, близкую к шару, её объём можно вычислить по формуле объёма шара:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$

Подставим выражение для объёма в формулу для массы:

$M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$

Теперь подставим полученное выражение для массы $\text{M}$ в формулу для $\text{g}$:

$g = G \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2}$

Сократим $R^2$ в числителе и знаменателе:

$g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$

Ответ: $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$