Номер 28, страница 80, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 28, страница 80.

Условие.

28. Выразите первую космическую скорость для планеты через радиус планеты $\text{R}$ и её среднюю плотность $\rho$.

Решение 2.

Дано:
$\text{R}$ - радиус планеты
$\rho$ - средняя плотность планеты
$\text{G}$ - гравитационная постоянная

Найти:
$v_1$ - первую космическую скорость

Решение:
Первая космическая скорость $v_1$ – это скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Для движения тела по круговой орбите радиусом $\text{R}$ (вблизи поверхности планеты) сила всемирного тяготения $F_g$, действующая на тело со стороны планеты, сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы тела $\text{m}$ на центростремительное ускорение $a_c$:

$F_g = m a_c$

Сила всемирного тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M m}{R^2}$, где $\text{M}$ – масса планеты.

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $\text{R}$ со скоростью $v_1$, равно:

$a_c = \frac{v_1^2}{R}$

Приравнивая выражения, получаем:

$G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v_1^2}{R}$

Сократив массу тела $\text{m}$ и радиус $\text{R}$, выразим первую космическую скорость:

$v_1^2 = \frac{G M}{R} \implies v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R}}$

Чтобы выразить скорость через среднюю плотность $\rho$, представим массу планеты $\text{M}$ через ее плотность и объем $\text{V}$. Будем считать планету шаром, тогда ее объем равен:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$

Следовательно, масса планеты:

$M = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$

Подставим полученное выражение для массы $\text{M}$ в формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}{R}}$

Упростим это выражение:

$v_1 = \sqrt{G \rho \frac{4}{3} \pi R^2} = R \sqrt{\frac{4 \pi G \rho}{3}}$

Ответ: $v_1 = R \sqrt{\frac{4 \pi G \rho}{3}}$.