Номер 22, страница 79, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 22, страница 79.

Условие.

22. Выразите первую космическую скорость для Луны (то есть для искусственного спутника Луны на низкой орбите) через гравитационную постоянную, массу Луны и её радиус. Найдите значение этой скорости.

Решение 2.

Выражение первой космической скорости для Луны

Первая космическая скорость $v_1$ – это скорость, которую необходимо сообщить телу (в данном случае, искусственному спутнику), чтобы оно двигалось по круговой орбите на минимально возможной высоте над поверхностью небесного тела (Луны).

Для движения спутника по круговой орбите необходимо, чтобы сила гравитационного притяжения со стороны Луны $F_g$ создавала центростремительное ускорение $a_ц$. Согласно второму закону Ньютона:
$F_g = m \cdot a_ц$

Здесь $\text{m}$ – масса спутника. Сила гравитационного притяжения определяется законом всемирного тяготения:
$F_g = G \frac{M_Л m}{r^2}$
где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $M_Л$ – масса Луны, а $\text{r}$ – радиус орбиты. Для низкой орбиты можно считать, что радиус орбиты примерно равен радиусу Луны: $r \approx R_Л$.

Центростремительное ускорение спутника, движущегося со скоростью $v_1$ по окружности радиусом $R_Л$, равно:
$a_ц = \frac{v_1^2}{R_Л}$

Приравняем выражения для силы:
$G \frac{M_Л m}{R_Л^2} = m \frac{v_1^2}{R_Л}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ и радиус $R_Л$ в знаменателе:
$v_1^2 = \frac{G M_Л}{R_Л}$

Отсюда получаем искомую формулу для первой космической скорости для Луны:
$v_1 = \sqrt{\frac{G M_Л}{R_Л}}$

Ответ: Первая космическая скорость для Луны выражается формулой $v_1 = \sqrt{\frac{G M_Л}{R_Л}}$, где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $M_Л$ – масса Луны, $R_Л$ – радиус Луны.

Нахождение значения этой скорости

Дано:
Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$
Масса Луны $M_Л \approx 7.342 \times 10^{22} \, \text{кг}$
Средний радиус Луны $R_Л \approx 1737 \, \text{км}$

Перевод в систему СИ:
$R_Л = 1737 \, \text{км} = 1737 \times 10^3 \, \text{м} = 1.737 \times 10^6 \, \text{м}$

Найти:
$v_1$

Решение:
Подставим справочные данные в выведенную формулу:
$v_1 = \sqrt{\frac{G M_Л}{R_Л}} = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 7.342 \times 10^{22}}{1.737 \times 10^6}}$
Проведем вычисления:
$v_1 = \sqrt{\frac{(6.674 \cdot 7.342) \times 10^{11}}{1.737 \times 10^6}} \approx \sqrt{\frac{48.998 \times 10^{11}}{1.737 \times 10^6}} \, \text{м/с}$
$v_1 \approx \sqrt{28.208 \times 10^5} \, \text{м/с} = \sqrt{2.8208 \times 10^6} \, \text{м/с}$
$v_1 \approx 1679.5 \, \text{м/с}$

Округлим полученное значение до трех значащих цифр:
$v_1 \approx 1680 \, \text{м/с}$, или $1.68 \, \text{км/с}$.

Ответ: Значение первой космической скорости для Луны составляет приблизительно $1680 \, \text{м/с}$ (или $1.68 \, \text{км/с}$).