Номер 19, страница 79, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 19, страница 79.

Условие.

°19. Выразите первую космическую скорость через радиус Земли и ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Решение 2.

Дано:

$R_З$ - радиус Земли

$\text{g}$ - ускорение свободного падения на поверхности Земли

Найти:

$v_1$ - первую космическую скорость

Решение:

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. В данном случае, тело движется по круговой орбите радиусом, равным радиусу Земли ($R_З$).

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием единственной силы — силы всемирного тяготения ($F_g$), которая сообщает телу центростремительное ускорение ($a_c$).

Согласно второму закону Ньютона:

$m \cdot a_c = F_g$

где $\text{m}$ — масса спутника.

Центростремительное ускорение выражается формулой:

$a_c = \frac{v_1^2}{R_З}$

Сила всемирного тяготения, действующая на спутник у поверхности Земли, равна:

$F_g = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли.

Подставим выражения для ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона:

$m \frac{v_1^2}{R_З} = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ и радиус $R_З$:

$v_1^2 = \frac{G M_З}{R_З}$

Отсюда первая космическая скорость равна:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}$

Теперь необходимо выразить эту скорость через ускорение свободного падения $\text{g}$. Ускорение свободного падения на поверхности Земли определяется силой тяжести, которая, по сути, является гравитационной силой:

$F_{тяж} = m g$

$F_g = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$m g = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Сократив $\text{m}$, находим связь между $\text{g}$ и $M_З$:

$g = \frac{G M_З}{R_З^2}$

Из этого соотношения выразим произведение $G M_З$:

$G M_З = g R_З^2$

Подставим это выражение в формулу для квадрата первой космической скорости:

$v_1^2 = \frac{g R_З^2}{R_З} = g R_З$

Извлекая квадратный корень, получаем искомую формулу:

$v_1 = \sqrt{g R_З}$

Ответ: Первая космическая скорость выражается через радиус Земли и ускорение свободного падения на её поверхности формулой $v_1 = \sqrt{g R_З}$.