Номер 12, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 12, страница 77.

Условие.

12. Выразите период $\text{T}$ обращения планеты через гравитационную постоянную, массу Солнца и радиус орбиты планеты.

Решение 2.

Дано:

$\text{G}$ – гравитационная постоянная
$\text{M}$ – масса Солнца
$\text{r}$ – радиус орбиты планеты

Найти:

$\text{T}$ – период обращения планеты.

Решение:

Будем считать, что планета движется по круговой орбите радиусом $\text{r}$ вокруг Солнца. Единственной силой, действующей на планету, является сила гравитационного притяжения со стороны Солнца. Эта сила сообщает планете центростремительное ускорение, удерживая её на орбите.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение. В данном случае гравитационная сила $F_{грав}$ равна силе, создающей центростремительное движение $F_ц$:

$F_{грав} = F_ц$

Сила всемирного тяготения между Солнцем (масса $\text{M}$) и планетой (масса $\text{m}$) определяется по формуле:

$F_{грав} = G \frac{M m}{r^2}$

Центростремительная сила, действующая на планету, движущуюся со скоростью $\text{v}$ по окружности радиусом $\text{r}$, равна:

$F_ц = m a_ц = m \frac{v^2}{r}$

Приравняем выражения для этих двух сил:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократим массу планеты $\text{m}$ и один радиус $\text{r}$ в знаменателе с обеих сторон уравнения:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Скорость движения планеты по орбите $\text{v}$ связана с периодом обращения $\text{T}$ (временем одного полного оборота) и радиусом орбиты $\text{r}$. За время $\text{T}$ планета проходит путь, равный длине окружности $2 \pi r$. Таким образом, скорость равна:

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

Подставим это выражение для скорости в уравнение, полученное ранее:

$G \frac{M}{r} = \left(\frac{2 \pi r}{T}\right)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$G \frac{M}{r} = \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2}$

Теперь выразим из этого соотношения период $\text{T}$. Сначала выразим $T^2$:

$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^2 \cdot r}{G M} = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M}$

Чтобы найти $\text{T}$, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 r^3}{G M}}$

Вынеся $4\pi^2$ из-под корня, получим окончательную формулу:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}$

Это выражение известно как третий закон Кеплера в обобщенной форме.

Ответ: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}$