Номер 8, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 8, страница 77.

Условие.

8. Обозначим $M_C$ массу Солнца, $\text{m}$ — массу планеты, $\text{R}$ — радиус её орбиты, $\text{v}$ — модуль скорости планеты.

а) Выразите модуль ускорения планеты $\text{a}$ через заданные величины.

б) Выразите модуль $\text{F}$ силы притяжения планеты Солнцем через заданные величины и гравитационную постоянную.

в) Выразите скорость планеты через гравитационную постоянную, массу Солнца и радиус орбиты планеты.

Ответ этой задачи показывает: чем больше радиус орбиты, тем меньше скорость планеты. Обратите внимание: скорость движения планеты не зависит от её массы.

Решение 2.

Дано:

$M_C$ - масса Солнца

$\text{m}$ - масса планеты

$\text{R}$ - радиус орбиты планеты

$\text{v}$ - модуль скорости планеты

$\text{G}$ - гравитационная постоянная

Найти:

а) $\text{a}$ - модуль ускорения планеты

б) $\text{F}$ - модуль силы притяжения

в) $\text{v}$ - скорость планеты

Решение:

а) Выразите модуль ускорения планеты а через заданные величины.

При движении по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью $\text{v}$ планета испытывает центростремительное ускорение $\text{a}$. Модуль этого ускорения направлен к центру орбиты (к Солнцу) и вычисляется по формуле:

$a = \frac{v^2}{R}$

Эта формула выражает ускорение через заданные в условии модуль скорости $\text{v}$ и радиус орбиты $\text{R}$.

Ответ: $a = \frac{v^2}{R}$

б) Выразите модуль F силы притяжения планеты Солнцем через заданные величины и гравитационную постоянную.

Сила гравитационного притяжения $\text{F}$ между Солнцем (масса $M_C$) и планетой (масса $\text{m}$) на расстоянии $\text{R}$ друг от друга определяется законом всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{M_C m}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Ответ: $F = G \frac{M_C m}{R^2}$

в) Выразите скорость планеты через гравитационную постоянную, массу Солнца и радиус орбиты планеты.

Гравитационная сила, действующая на планету со стороны Солнца, является силой, которая удерживает планету на орбите, то есть она является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$.

Подставим в это равенство выражения для силы $\text{F}$ из пункта (б) и для ускорения $\text{a}$ из пункта (а):

$G \frac{M_C m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Разделим обе части уравнения на массу планеты $\text{m}$ и умножим на радиус орбиты $\text{R}$, чтобы упростить выражение:

$G \frac{M_C}{R} = v^2$

Чтобы найти скорость $\text{v}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v = \sqrt{\frac{G M_C}{R}}$

Эта формула показывает, что скорость планеты на круговой орбите зависит только от массы центрального тела (Солнца) и радиуса орбиты, но не от массы самой планеты.

Ответ: $v = \sqrt{\frac{G M_C}{R}}$