Номер 10, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 10, страница 77.

Условие.

°10. Выразите скорость движения Земли по орбите через массу Солнца, расстояние от Земли до Солнца и гравитационную постоянную. Найдите численное значение этой скорости.

Решение 2.

Решение

Для решения задачи будем считать, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите. В этом случае движение Земли происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ей центростремительное ускорение.

По закону всемирного тяготения, сила, с которой Солнце притягивает Землю, равна:

$F_g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Солнца, $\text{m}$ — масса Земли, $\text{R}$ — расстояние между центрами Земли и Солнца (радиус орбиты).

Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает Землю на орбите. Центростремительная сила определяется по второму закону Ньютона:

$F_c = m \cdot a_c = \frac{m \cdot v^2}{R}$

где $\text{v}$ — скорость движения Земли по орбите, $a_c$ — центростремительное ускорение.

Приравнивая выражения для гравитационной и центростремительной сил, получаем:

$G \frac{M \cdot m}{R^2} = \frac{m \cdot v^2}{R}$

Сократим массу Земли $\text{m}$ и радиус $\text{R}$ в уравнении:

$G \frac{M}{R} = v^2$

Отсюда выражаем скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}$

Это и есть формула для скорости движения Земли по орбите, выраженная через массу Солнца, расстояние до него и гравитационную постоянную.

Теперь найдем численное значение этой скорости, используя справочные данные.

Дано:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Солнца $M \approx 1.989 \cdot 10^{30} \text{ кг}$

Среднее расстояние от Земли до Солнца (радиус орбиты) $R \approx 1.496 \cdot 10^{11} \text{ м}$

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \sqrt{\frac{6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 1.989 \cdot 10^{30} \text{ кг}}{1.496 \cdot 10^{11} \text{ м}}}$

$v = \sqrt{\frac{13.275 \cdot 10^{19}}{1.496 \cdot 10^{11}}} \approx \sqrt{8.874 \cdot 10^8} \approx 2.9789 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим результат и переведем его в километры в секунду:

$v \approx 2.98 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 29.8 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ:

Скорость движения Земли по орбите выражается формулой $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}$. Численное значение этой скорости составляет приблизительно $2.98 \cdot 10^4$ м/с или $29.8$ км/с.