Номер 11, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 11, страница 77.

Условие.

11. Радиус орбиты Сатурна в 9,6 раз больше радиуса орбиты Зем-ли. Используя результат предыдущей задачи, вычислите скорость движения Сатурна по орбите.

Решение 2.

Дано:

Отношение радиуса орбиты Сатурна к радиусу орбиты Земли: $\frac{R_С}{R_З} = 9.6$

Скорость Земли (предполагаемый результат из предыдущей задачи): $v_З \approx 30 \text{ км/с}$

Найти:

$v_С$ — скорость движения Сатурна по орбите.

Решение:

Для планеты, движущейся по круговой орбите вокруг Солнца, сила всемирного тяготения является центростремительной силой. Запишем второй закон Ньютона для этого случая:

$F_g = m \cdot a_c$

где $F_g$ — сила гравитационного притяжения к Солнцу, $\text{m}$ — масса планеты, $a_c$ — центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M_S \cdot m}{R^2}$

Центростремительное ускорение равно:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_S$ — масса Солнца, $\text{v}$ — орбитальная скорость планеты, $\text{R}$ — радиус ее орбиты.

Приравняем выражения:

$G \frac{M_S \cdot m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Сократив массу планеты $\text{m}$ и радиус $\text{R}$, получим выражение для квадрата орбитальной скорости:

$v^2 = \frac{G \cdot M_S}{R}$

Отсюда скорость движения планеты по орбите:

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_S}{R}}$

Из этой формулы видно, что скорость планеты обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса ее орбиты ($v \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$).

Составим отношение скоростей Сатурна ($v_С$) и Земли ($v_З$):

$\frac{v_С}{v_З} = \frac{\sqrt{G \cdot M_S / R_С}}{\sqrt{G \cdot M_S / R_З}} = \sqrt{\frac{R_З}{R_С}}$

Выразим отсюда искомую скорость Сатурна:

$v_С = v_З \cdot \sqrt{\frac{R_З}{R_С}}$

Из условия задачи известно, что $R_С = 9.6 \cdot R_З$, следовательно, отношение $\frac{R_З}{R_С} = \frac{1}{9.6}$.

Подставим это значение в формулу:

$v_С = v_З \cdot \sqrt{\frac{1}{9.6}} = \frac{v_З}{\sqrt{9.6}}$

Воспользуемся значением скорости Земли $v_З \approx 30 \text{ км/с}$ (как результатом предыдущей задачи или справочным значением).

Произведем вычисления:

$v_С = \frac{30 \text{ км/с}}{\sqrt{9.6}} \approx \frac{30 \text{ км/с}}{3.098} \approx 9.68 \text{ км/с}$

Округлим результат до десятых, как и в исходных данных:

$v_С \approx 9.7 \text{ км/с}$

Ответ: $9.7 \text{ км/с}$.