Номер 9, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 7. Силы тяготения - номер 9, страница 77.

Условие.

°9. Используя полученную при решении предыдущей задачи формулу, вычислите скорость движения самой близкой к Солнцу планеты. Правильность расчета проверьте, используя Интернет.

Решение 2.

Задача предполагает использование формулы для orbitalльной скорости (первой космической скорости), которая выводится из равенства гравитационной силы и центростремительной силы для тела, движущегося по круговой орбите. Вероятно, эта формула была получена в предыдущей задаче.

Формула для орбитальной скорости: $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Самая близкая к Солнцу планета — Меркурий. Для вычисления его скорости воспользуемся справочными данными.

Дано:

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$
Масса Солнца: $M_☉ \approx 1.989 \times 10^{30} \, \text{кг}$
Средний радиус орбиты Меркурия: $r \approx 57.91 \times 10^6 \, \text{км}$

Перевод в систему СИ:
$r = 57.91 \times 10^6 \, \text{км} = 57.91 \times 10^9 \, \text{м} = 5.791 \times 10^{10} \, \text{м}$

Найти:

Скорость движения Меркурия $\text{v}$.

Решение:

Для расчета скорости движения Меркурия по орбите будем считать его орбиту круговой. Подставим известные значения в формулу для орбитальной скорости:

$v = \sqrt{\frac{G M_☉}{r}} = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 1.989 \times 10^{30} \, \text{кг}}{5.791 \times 10^{10} \, \text{м}}}$

$v \approx \sqrt{\frac{1.327 \times 10^{20}}{5.791 \times 10^{10}}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{2.291 \times 10^9} \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v \approx 47868 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переведем скорость в километры в секунду для удобства сравнения:

$v \approx 47.87 \, \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Согласно условию задачи, проверим правильность расчета с помощью Интернета. По данным из открытых источников (например, NASA), средняя орбитальная скорость Меркурия составляет $47.36 \, \text{км/с}$. Полученное нами значение $47.87 \, \text{км/с}$ очень близко к реальному. Небольшое расхождение обусловлено тем, что мы использовали усредненные значения для радиуса и масс, а также тем, что реальная орбита Меркурия является эллиптической (скорость в перигелии достигает $58.98 \, \text{км/с}$, а в афелии снижается до $38.86 \, \text{км/с}$), а в расчете мы приняли ее за круговую. Таким образом, расчет можно считать верным.

Ответ: Расчетная скорость движения Меркурия составляет примерно $47.87 \, \text{км/с}$.