Номер 24, страница 90, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 8. Силы упругости - номер 24, страница 90.

Условие.

24. Когда пружина растянута силой $F_1 = 20 \text{ H}$, её длина $l_1 = 14 \text{ см}$, а когда она растянута силой $F_2 = 40 \text{ H}$, её длина $l_2 = 16 \text{ см}$.

а) Обозначьте длину недеформированной пружины $l_0$, а жёсткость пружины обозначьте $\text{k}$. Выразите удлинение пружины в каждом случае через $l_0$ и величины, заданные в условии. Запишите уравнения, выражающие закон Гука для каждого случая.

б) Выразите длину недеформированной пружины через величины, заданные в описании ситуации.

в) Выразите жёсткость пружины через величины, заданные в описании ситуации.

г) Чему равны длина недеформированной пружины и её жёсткость?

Решение 2.

Дано:

$F_1 = 20$ Н

$l_1 = 14$ см = $0.14$ м

$F_2 = 40$ Н

$l_2 = 16$ см = $0.16$ м

Найти:

а) $\Delta l_1, \Delta l_2$, уравнения закона Гука

б) $l_0$ - ? (формулу)

в) $\text{k}$ - ? (формулу)

г) $l_0, k$ - ? (значения)

Решение:

а) Удлинение пружины ($\Delta l$) — это разность между её конечной длиной ($\text{l}$) и начальной, недеформированной длиной ($l_0$).
В первом случае удлинение: $\Delta l_1 = l_1 - l_0$.
Во втором случае удлинение: $\Delta l_2 = l_2 - l_0$.
Закон Гука гласит, что сила упругости, возникающая при деформации пружины, прямо пропорциональна её удлинению. Сила, растягивающая пружину, по модулю равна силе упругости. Таким образом, для каждого случая можно записать уравнение:
Для первого случая: $F_1 = k \cdot \Delta l_1$, или $F_1 = k(l_1 - l_0)$.
Для второго случая: $F_2 = k \cdot \Delta l_2$, или $F_2 = k(l_2 - l_0)$.
Ответ: Удлинение в первом случае $\Delta l_1 = l_1 - l_0$, во втором случае $\Delta l_2 = l_2 - l_0$. Уравнения закона Гука: $F_1 = k(l_1 - l_0)$ и $F_2 = k(l_2 - l_0)$.

б) Для выражения длины недеформированной пружины $l_0$ используем систему уравнений, полученную в пункте а):
$F_1 = k(l_1 - l_0)$
$F_2 = k(l_2 - l_0)$
Выразим коэффициент жёсткости $\text{k}$ из обоих уравнений:
$k = \frac{F_1}{l_1 - l_0}$ и $k = \frac{F_2}{l_2 - l_0}$
Приравняем правые части этих выражений:
$\frac{F_1}{l_1 - l_0} = \frac{F_2}{l_2 - l_0}$
Решим это уравнение относительно $l_0$:
$F_1(l_2 - l_0) = F_2(l_1 - l_0)$
$F_1 l_2 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_2 l_0$
$F_2 l_0 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_1 l_2$
$l_0(F_2 - F_1) = F_2 l_1 - F_1 l_2$
$l_0 = \frac{F_2 l_1 - F_1 l_2}{F_2 - F_1}$
Ответ: $l_0 = \frac{F_2 l_1 - F_1 l_2}{F_2 - F_1}$.

в) Для выражения жёсткости пружины $\text{k}$ вычтем из второго уравнения системы ($F_2 = k(l_2 - l_0)$) первое ($F_1 = k(l_1 - l_0)$):
$F_2 - F_1 = k(l_2 - l_0) - k(l_1 - l_0)$
$F_2 - F_1 = k(l_2 - l_0 - l_1 + l_0)$
$F_2 - F_1 = k(l_2 - l_1)$
Отсюда выражаем $\text{k}$:
$k = \frac{F_2 - F_1}{l_2 - l_1}$
Ответ: $k = \frac{F_2 - F_1}{l_2 - l_1}$.

г) Подставим числовые значения в полученные формулы, предварительно переведя все величины в систему СИ.
Вычислим жёсткость пружины $\text{k}$:
$k = \frac{40 \text{ Н} - 20 \text{ Н}}{0.16 \text{ м} - 0.14 \text{ м}} = \frac{20 \text{ Н}}{0.02 \text{ м}} = 1000$ Н/м.
Вычислим длину недеформированной пружины $l_0$:
$l_0 = \frac{40 \text{ Н} \cdot 0.14 \text{ м} - 20 \text{ Н} \cdot 0.16 \text{ м}}{40 \text{ Н} - 20 \text{ Н}} = \frac{5.6 \text{ Н} \cdot \text{м} - 3.2 \text{ Н} \cdot \text{м}}{20 \text{ Н}} = \frac{2.4 \text{ Н} \cdot \text{м}}{20 \text{ Н}} = 0.12$ м.
Переведём длину $l_0$ в сантиметры: $l_0 = 0.12$ м = $12$ см.
Ответ: Длина недеформированной пружины $l_0 = 12$ см, её жёсткость $k = 1000$ Н/м.