Номер 26, страница 91, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 8. Силы упругости - номер 26, страница 91.

Условие.

26. На рисунке 8.10 изображена система, состоящая из двух последовательно соединённых пружин. Жёсткость первой пружины $k_1 = 100\text{ Н/м}$, а жёсткость второй пружины $k_2 = 200\text{ Н/м}$. К системе пружин подвешен груз массой $200\text{ г}$.

а) Чему равно удлинение каждой пружины?

б) Чему равно удлинение $\text{x}$ системы пружин?

в) Чему равна жёсткость системы пружин?

г) Докажите, что жёсткость $\text{k}$ системы двух последовательно соединённых пружин жёсткостью $k_1$ и $k_2$ можно найти по формуле

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

д) Докажите, что жёсткость системы двух последовательно соединённых пружин меньше жёсткости любой из этих пружин.

Рис. 8.10

Решение 2.

Дано:

Жёсткость первой пружины, $k_1 = 100$ Н/м

Жёсткость второй пружины, $k_2 = 200$ Н/м

Масса груза, $m = 200$ г

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ Н/кг

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

а) $x_1, x_2$ - ?

б) $\text{x}$ - ?

в) $\text{k}$ - ?

г) Доказать, что $1/k = 1/k_1 + 1/k_2$

д) Доказать, что $k < k_1$ и $k < k_2$

Решение:

При последовательном соединении пружин на каждую из них действует одна и та же сила, равная силе тяжести подвешенного груза. Эта сила равна:

$F = mg = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 2 \text{ Н}$

а) Чему равно удлинение каждой пружины?

Удлинение каждой пружины можно найти по закону Гука $F = kx$, откуда $x = F/k$.

Удлинение первой пружины:

$x_1 = \frac{F}{k_1} = \frac{2 \text{ Н}}{100 \text{ Н/м}} = 0.02 \text{ м}$

Удлинение второй пружины:

$x_2 = \frac{F}{k_2} = \frac{2 \text{ Н}}{200 \text{ Н/м}} = 0.01 \text{ м}$

Ответ: удлинение первой пружины равно $0.02$ м, удлинение второй пружины равно $0.01$ м.

б) Чему равно удлинение x системы пружин?

При последовательном соединении общее удлинение системы равно сумме удлинений каждой пружины:

$x = x_1 + x_2 = 0.02 \text{ м} + 0.01 \text{ м} = 0.03 \text{ м}$

Ответ: удлинение системы пружин равно $0.03$ м.

в) Чему равна жёсткость системы пружин?

Общая жёсткость системы $\text{k}$ определяется из закона Гука для всей системы: $F = kx$.

$k = \frac{F}{x} = \frac{2 \text{ Н}}{0.03 \text{ м}} = \frac{200}{3} \text{ Н/м} \approx 66.7 \text{ Н/м}$

Ответ: жёсткость системы пружин равна $\frac{200}{3}$ Н/м, или приблизительно $66.7$ Н/м.

г) Докажите, что жёсткость k системы двух последовательно соединённых пружин жёсткостью $k_1$ и $k_2$ можно найти по формуле $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$.

При последовательном соединении сила, действующая на каждую пружину, одинакова: $F = F_1 = F_2$.

Общее удлинение системы является суммой удлинений каждой пружины: $x = x_1 + x_2$.

Выразим каждое удлинение через силу и жёсткость, используя закон Гука:

$x = \frac{F}{k}$, $x_1 = \frac{F_1}{k_1}$, $x_2 = \frac{F_2}{k_2}$

Подставим эти выражения в формулу для общего удлинения:

$\frac{F}{k} = \frac{F_1}{k_1} + \frac{F_2}{k_2}$

Так как $F = F_1 = F_2$ и $F \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\text{F}$:

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

д) Докажите, что жёсткость системы двух последовательно соединённых пружин меньше жёсткости любой из этих пружин.

Воспользуемся доказанной в пункте г) формулой: $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$.

Поскольку жёсткость пружины является положительной величиной ($k_1 > 0$ и $k_2 > 0$), то и обратные им величины также положительны: $\frac{1}{k_1} > 0$ и $\frac{1}{k_2} > 0$.

Рассмотрим соотношение для $k_1$. Так как $\frac{1}{k_2}$ — положительное число, то сумма $\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ будет больше, чем $\frac{1}{k_1}$.

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \Rightarrow \frac{1}{k} > \frac{1}{k_1}$

Для положительных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ из неравенства $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ следует, что $a < b$. Следовательно:

$k < k_1$

Аналогично, так как $\frac{1}{k_1}$ — положительное число:

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \Rightarrow \frac{1}{k} > \frac{1}{k_2}$

Отсюда следует, что:

$k < k_2$

Таким образом, общая жёсткость системы $\text{k}$ меньше жёсткости каждой из пружин в отдельности. Проверим на наших численных данных: $k \approx 66.7$ Н/м, что меньше, чем $k_1 = 100$ Н/м и $k_2 = 200$ Н/м.

Ответ: утверждение доказано.