Номер 25, страница 91, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 8. Силы упругости - номер 25, страница 91.

Условие.

25. Пружина прикреплена к двум брускам массами $m_1 = 600$ г и $m_2 = 1$ кг. Когда бруски и пружина находятся на столе в положении, изображённом на рисунке 8.9, а, длина пружины равна 9 см, а когда они находятся в положении, показанном на рисунке 8.9, б, длина пружины равна 7 см.

а) Чему равна длина недеформированной пружины?

б) Чему равна жёсткость пружины?

в) Чему будет равна длина пружины, если подвесить систему за первый брусок?

г) Чему будет равна длина пружины, если подвесить систему за второй брусок?

Рис. 8.9

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 600 \text{ г}$

$m_2 = 1 \text{ кг}$

$l_a = 9 \text{ см}$

$l_б = 7 \text{ см}$

$g \approx 10 \text{ Н/кг} = 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0.6 \text{ кг}$

$l_a = 0.09 \text{ м}$

$l_б = 0.07 \text{ м}$

Найти:

а) $l_0$ - ?

б) $\text{k}$ - ?

в) $l_в$ - ?

г) $l_г$ - ?

Решение:

Для определения длины недеформированной пружины $l_0$ и её жёсткости $\text{k}$ составим систему уравнений на основе двух ситуаций, показанных на рисунке.

В случае 'a', пружина сжата весом верхнего бруска массой $m_1$. Сила упругости пружины $F_{упр,а}$ уравновешивает силу тяжести $m_1g$. Согласно закону Гука, сила упругости при сжатии равна $F_{упр,а} = k \cdot \Delta l_a = k(l_0 - l_a)$.

Из условия равновесия получаем первое уравнение:

$k(l_0 - l_a) = m_1g$ (1)

В случае 'б', пружина сжата весом верхнего бруска массой $m_2$. Сила упругости $F_{упр,б}$ уравновешивает силу тяжести $m_2g$. Сжатие пружины равно $\Delta l_б = l_0 - l_б$.

Из условия равновесия получаем второе уравнение:

$k(l_0 - l_б) = m_2g$ (2)

а) Чему равна длина недеформированной пружины?

Для нахождения $l_0$ разделим уравнение (1) на уравнение (2), чтобы исключить неизвестную жёсткость $\text{k}$:

$\frac{k(l_0 - l_a)}{k(l_0 - l_б)} = \frac{m_1g}{m_2g}$

$\frac{l_0 - l_a}{l_0 - l_б} = \frac{m_1}{m_2}$

Выразим $l_0$ из этого соотношения:

$m_2(l_0 - l_a) = m_1(l_0 - l_б)$

$m_2l_0 - m_2l_a = m_1l_0 - m_1l_б$

$l_0(m_2 - m_1) = m_2l_a - m_1l_б$

$l_0 = \frac{m_2l_a - m_1l_б}{m_2 - m_1}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$l_0 = \frac{1 \text{ кг} \cdot 0.09 \text{ м} - 0.6 \text{ кг} \cdot 0.07 \text{ м}}{1 \text{ кг} - 0.6 \text{ кг}} = \frac{0.09 - 0.042}{0.4} = \frac{0.048}{0.4} = 0.12 \text{ м}$

Ответ: Длина недеформированной пружины равна 0.12 м или 12 см.

б) Чему равна жёсткость пружины?

Зная длину недеформированной пружины $l_0$, найдём её жёсткость $\text{k}$ из любого из двух начальных уравнений. Воспользуемся уравнением (1):

$k = \frac{m_1g}{l_0 - l_a}$

Подставим значения:

$k = \frac{0.6 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.12 \text{ м} - 0.09 \text{ м}} = \frac{6 \text{ Н}}{0.03 \text{ м}} = 200 \text{ Н/м}$

Ответ: Жёсткость пружины равна 200 Н/м.

в) Чему будет равна длина пружины, если подвесить систему за первый брусок?

Если система подвешена за брусок $m_1$, то пружина будет растянута весом нижнего бруска $m_2$. Сила упругости пружины $F_{упр,в}$ будет уравновешивать силу тяжести $m_2g$. Растяжение пружины равно $\Delta l_в = l_в - l_0$.

Условие равновесия для бруска $m_2$:

$k(l_в - l_0) = m_2g$

Выразим новую длину пружины $l_в$:

$l_в = l_0 + \frac{m_2g}{k}$

Подставим известные значения:

$l_в = 0.12 \text{ м} + \frac{1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{200 \text{ Н/м}} = 0.12 \text{ м} + \frac{10}{200} \text{ м} = 0.12 \text{ м} + 0.05 \text{ м} = 0.17 \text{ м}$

Ответ: Длина пружины будет равна 0.17 м или 17 см.

г) Чему будет равна длина пружины, если подвесить систему за второй брусок?

Если система подвешена за брусок $m_2$, то пружина будет растянута весом нижнего бруска $m_1$. Сила упругости пружины $F_{упр,г}$ будет уравновешивать силу тяжести $m_1g$. Растяжение пружины равно $\Delta l_г = l_г - l_0$.

Условие равновесия для бруска $m_1$:

$k(l_г - l_0) = m_1g$

Выразим новую длину пружины $l_г$:

$l_г = l_0 + \frac{m_1g}{k}$

Подставим известные значения:

$l_г = 0.12 \text{ м} + \frac{0.6 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{200 \text{ Н/м}} = 0.12 \text{ м} + \frac{6}{200} \text{ м} = 0.12 \text{ м} + 0.03 \text{ м} = 0.15 \text{ м}$

Ответ: Длина пружины будет равна 0.15 м или 15 см.