Номер 29, страница 92, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 8. Силы упругости - номер 29, страница 92.

Условие.

29. На рисунке 8.11 изображена система, состоящая из двух параллельно соединённых пружин. Жёсткость каждой пружины 100 Н/м. К системе пружин подвешен груз массой 200 г. При этом удлинения пружин одинаковы.

а) Чему равна сила упругости каждой пружины, когда груз находится в равновесии?

б) Чему равно удлинение каждой пружины?

в) Чему равно удлинение $\text{x}$ системы пружин?

г) Чему равна жёсткость системы пружин?

д) Докажите, что жёсткость $\text{k}$ системы двух параллельно соединённых пружин¹⁾ жёсткостью $k_1$ и $k_2$ можно найти по формуле $k = k_1 + k_2$.

е) Докажите, что жёсткость системы двух параллельно соединённых пружин больше жёсткости любой из этих пружин.

Рис. 8.11

Решение 2.

Дано:

Количество пружин: 2 (соединены параллельно)
Жёсткость первой пружины: $k_1 = 100 \text{ Н/м}$
Жёсткость второй пружины: $k_2 = 100 \text{ Н/м}$
Масса груза: $m = 200 \text{ г}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
Масса: $m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

а) Силу упругости каждой пружины $F_{упр1}, F_{упр2}$
б) Удлинение каждой пружины $x_1, x_2$
в) Удлинение системы пружин $\text{x}$
г) Жёсткость системы пружин $\text{k}$
д) Доказать формулу $k = k_1 + k_2$
е) Доказать, что $k > k_1$ и $k > k_2$

Решение:

Когда груз находится в равновесии, сила тяжести, действующая на него, уравновешивается суммарной силой упругости двух пружин. Сила тяжести равна $F_{тяж} = mg$.

$F_{тяж} = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 2 \text{ Н}$.

Общая сила упругости $F_{упр.общ} = F_{тяж} = 2 \text{ Н}$.

а) Чему равна сила упругости каждой пружины, когда груз находится в равновесии?

Поскольку пружины соединены параллельно и имеют одинаковую жёсткость, нагрузка распределяется между ними поровну. Таким образом, сила упругости, возникающая в каждой пружине, равна половине от общей силы тяжести.

$F_{упр1} = F_{упр2} = \frac{F_{тяж}}{2} = \frac{2 \text{ Н}}{2} = 1 \text{ Н}$.

Ответ: Сила упругости каждой пружины равна 1 Н.

б) Чему равно удлинение каждой пружины?

Удлинение каждой пружины можно найти по закону Гука: $F_{упр} = kx$, откуда $x = \frac{F_{упр}}{k}$.

Для первой пружины: $x_1 = \frac{F_{упр1}}{k_1} = \frac{1 \text{ Н}}{100 \text{ Н/м}} = 0.01 \text{ м}$.

Для второй пружины: $x_2 = \frac{F_{упр2}}{k_2} = \frac{1 \text{ Н}}{100 \text{ Н/м}} = 0.01 \text{ м}$.

Удлинения пружин одинаковы, что соответствует условию задачи.

Ответ: Удлинение каждой пружины равно 0.01 м (или 1 см).

в) Чему равно удлинение x системы пружин?

При параллельном соединении пружин их удлинение одинаково и равно удлинению всей системы.

$x = x_1 = x_2 = 0.01 \text{ м}$.

Ответ: Удлинение системы пружин равно 0.01 м (или 1 см).

г) Чему равна жёсткость системы пружин?

Жёсткость системы $\text{k}$ определяется как отношение общей силы, приложенной к системе, к её удлинению: $k = \frac{F_{упр.общ}}{x}$.

$k = \frac{2 \text{ Н}}{0.01 \text{ м}} = 200 \text{ Н/м}$.

Ответ: Жёсткость системы пружин равна 200 Н/м.

д) Докажите, что жёсткость k системы двух параллельно соединённых пружин жёсткостью $k_1$ и $k_2$ можно найти по формуле $k = k_1 + k_2$.

При параллельном соединении пружин выполняются два условия:

1. Общая сила упругости равна сумме сил упругости каждой пружины: $F_{общ} = F_1 + F_2$.

2. Удлинение пружин одинаково и равно удлинению системы: $x = x_1 = x_2$.

Запишем закон Гука для системы и для каждой пружины:

$F_{общ} = kx$

$F_1 = k_1 x_1$

$F_2 = k_2 x_2$

Подставим эти выражения в первое условие:

$kx = k_1 x_1 + k_2 x_2$

Используя второе условие ($x = x_1 = x_2$), заменим $x_1$ и $x_2$ на $\text{x}$:

$kx = k_1 x + k_2 x$

Вынесем $\text{x}$ за скобки в правой части уравнения:

$kx = (k_1 + k_2)x$

Сократив на $\text{x}$ (при $x \neq 0$), получаем искомую формулу:

$k = k_1 + k_2$

Ответ: Формула доказана.

е) Докажите, что жёсткость системы двух параллельно соединённых пружин больше жёсткости любой из этих пружин.

Из предыдущего пункта мы знаем, что общая жёсткость $k = k_1 + k_2$.

Жёсткость любой физической пружины является положительной величиной, то есть $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$.

Сравним общую жёсткость $\text{k}$ с жёсткостью первой пружины $k_1$.

Так как $k_2 > 0$, то прибавив $k_1$ к обеим частям неравенства, получим $k_1 + k_2 > k_1$. Следовательно, $k > k_1$.

Аналогично, сравним $\text{k}$ с $k_2$.

Так как $k_1 > 0$, то прибавив $k_2$ к обеим частям неравенства, получим $k_1 + k_2 > k_2$. Следовательно, $k > k_2$.

Таким образом, жёсткость системы пружин при параллельном соединении всегда больше жёсткости любой из пружин, входящих в систему. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.