Номер 27, страница 92, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 8. Силы упругости - номер 27, страница 92.

Условие.

27. К двум последовательно соединённым пружинам подвешен груз массой 3 кг. Удлинение системы пружин равно 6 см. Жёсткость первой пружины в 3 раза больше, чем жёсткость второй.

а) Чему равна жёсткость системы пружин?

б) Чему равна жёсткость каждой пружины?

в) Чему равно удлинение каждой пружины?

Решение 2.

Дано:

$m = 3 \text{ кг}$

$\Delta l = 6 \text{ см}$

$k_1 = 3k_2$

Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$\Delta l = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

а) $k_{общ}$ - ?

б) $k_1$ - ?, $k_2$ - ?

в) $\Delta l_1$ - ?, $\Delta l_2$ - ?

Решение:

а) Чему равна жёсткость системы пружин?

Когда груз подвешен к системе пружин, он находится в равновесии. Сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости системы пружин. Сила тяжести равна $F_{тяж} = mg$. Сила упругости системы пружин определяется по закону Гука: $F_{упр} = k_{общ} \Delta l$, где $k_{общ}$ – общая жёсткость системы, а $\Delta l$ – общее удлинение.

Из условия равновесия $F_{тяж} = F_{упр}$ следует:

$mg = k_{общ} \Delta l$

Отсюда выразим общую жёсткость системы пружин:

$k_{общ} = \frac{mg}{\Delta l}$

Подставим числовые значения:

$k_{общ} = \frac{3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.06 \text{ м}} = \frac{30 \text{ Н}}{0.06 \text{ м}} = 500 \text{ Н/м}$

Ответ: жёсткость системы пружин равна 500 Н/м.

б) Чему равна жёсткость каждой пружины?

Пружины соединены последовательно. При последовательном соединении общая жёсткость $k_{общ}$ связана с жёсткостями отдельных пружин $k_1$ и $k_2$ соотношением:

$\frac{1}{k_{общ}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

По условию задачи $k_1 = 3k_2$. Подставим это соотношение в формулу:

$\frac{1}{k_{общ}} = \frac{1}{3k_2} + \frac{1}{k_2} = \frac{1 + 3}{3k_2} = \frac{4}{3k_2}$

Отсюда выразим $k_2$:

$3k_2 = 4k_{общ}$

$k_2 = \frac{4}{3} k_{общ}$

Подставим найденное значение $k_{общ} = 500 \text{ Н/м}$:

$k_2 = \frac{4}{3} \cdot 500 \text{ Н/м} = \frac{2000}{3} \text{ Н/м} \approx 667 \text{ Н/м}$

Теперь найдём жёсткость первой пружины:

$k_1 = 3k_2 = 3 \cdot \frac{2000}{3} \text{ Н/м} = 2000 \text{ Н/м}$

Ответ: жёсткость первой пружины $k_1 = 2000$ Н/м, жёсткость второй пружины $k_2 \approx 667$ Н/м.

в) Чему равно удлинение каждой пружины?

При последовательном соединении пружин сила, действующая на каждую пружину, одинакова и равна силе тяжести подвешенного груза: $F_1 = F_2 = F_{тяж} = mg$.

$F_{тяж} = 3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 30 \text{ Н}$

Удлинение каждой пружины найдём по закону Гука: $\Delta l = \frac{F}{k}$.

Удлинение первой пружины:

$\Delta l_1 = \frac{F_{тяж}}{k_1} = \frac{30 \text{ Н}}{2000 \text{ Н/м}} = 0.015 \text{ м} = 1.5 \text{ см}$

Удлинение второй пружины:

$\Delta l_2 = \frac{F_{тяж}}{k_2} = \frac{30 \text{ Н}}{(2000/3) \text{ Н/м}} = \frac{30 \cdot 3}{2000} \text{ м} = \frac{90}{2000} \text{ м} = 0.045 \text{ м} = 4.5 \text{ см}$

Проверим: общее удлинение $\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 = 1.5 \text{ см} + 4.5 \text{ см} = 6 \text{ см}$, что соответствует условию задачи.

Ответ: удлинение первой пружины равно 1.5 см, удлинение второй пружины равно 4.5 см.