Номер 31, страница 92, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 8. Силы упругости - номер 31, страница 92.

Условие.

31. У мастера есть три одинаковые пружины жёсткостью $300 \text{ Н/м}$ каждая. Системы пружин какой жёсткости он может сделать с их помощью, не разрезая имеющихся пружин? Изобразите все возможные виды соединения пружин и укажите удлинение системы пружин при подвешивании к ней груза массой $600 \text{ г}$.

Решение 2.

Дано:

Количество одинаковых пружин: $n = 3$

Жёсткость каждой пружины: $k = 300$ Н/м

Масса груза: $m = 600$ г

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ Н/кг

Перевод в систему СИ:

Масса груза: $m = 600 \text{ г} = 0.6 \text{ кг}$

Найти:

1. Возможные значения общей жёсткости системы пружин $k_{общ}$.

2. Удлинение $\Delta x$ для каждой системы при подвешивании груза.

Решение:

Рассмотрим все возможные способы соединения трёх пружин. Сила, действующая на систему, — это вес подвешенного груза:

$F = m \cdot g = 0.6 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 6 \text{ Н}$

Удлинение системы пружин в каждом случае будем находить по закону Гука: $F = k_{общ} \cdot \Delta x$, откуда $\Delta x = F / k_{общ}$.

1. Использование одной пружины

Это простейшая система, состоящая из одной пружины.

Жёсткость системы равна жёсткости одной пружины:

$k_{общ} = k = 300 \text{ Н/м}$

Удлинение системы:

$\Delta x_1 = F / k_{общ} = 6 \text{ Н} / 300 \text{ Н/м} = 0.02 \text{ м} = 2 \text{ см}$

Ответ: Жёсткость 300 Н/м, удлинение 2 см.

2. Две пружины, соединенные последовательно

Пружины соединены друг за другом. Общая жёсткость $k_{общ}$ находится по формуле:

$1/k_{общ} = 1/k + 1/k = 2/k$

$k_{общ} = k/2 = 300 \text{ Н/м} / 2 = 150 \text{ Н/м}$

Удлинение системы:

$\Delta x_2 = F / k_{общ} = 6 \text{ Н} / 150 \text{ Н/м} = 0.04 \text{ м} = 4 \text{ см}$

Ответ: Жёсткость 150 Н/м, удлинение 4 см.

3. Две пружины, соединенные параллельно

Пружины закреплены с одной стороны на общем основании, а с другой — к общей точке крепления груза. Общая жёсткость $k_{общ}$ находится по формуле:

$k_{общ} = k + k = 2k$

$k_{общ} = 2 \cdot 300 \text{ Н/м} = 600 \text{ Н/м}$

Удлинение системы:

$\Delta x_3 = F / k_{общ} = 6 \text{ Н} / 600 \text{ Н/м} = 0.01 \text{ м} = 1 \text{ см}$

Ответ: Жёсткость 600 Н/м, удлинение 1 см.

4. Три пружины, соединенные последовательно

Все три пружины соединены друг за другом.

$1/k_{общ} = 1/k + 1/k + 1/k = 3/k$

$k_{общ} = k/3 = 300 \text{ Н/м} / 3 = 100 \text{ Н/м}$

Удлинение системы:

$\Delta x_4 = F / k_{общ} = 6 \text{ Н} / 100 \text{ Н/м} = 0.06 \text{ м} = 6 \text{ см}$

Ответ: Жёсткость 100 Н/м, удлинение 6 см.

5. Три пружины, соединенные параллельно

Все три пружины соединены параллельно.

$k_{общ} = k + k + k = 3k$

$k_{общ} = 3 \cdot 300 \text{ Н/м} = 900 \text{ Н/м}$

Удлинение системы:

$\Delta x_5 = F / k_{общ} = 6 \text{ Н} / 900 \text{ Н/м} \approx 0.0067 \text{ м} \approx 0.67 \text{ см}$

Ответ: Жёсткость 900 Н/м, удлинение ~0.67 см.

6. Смешанное соединение: две параллельные пружины последовательно с третьей

Две пружины соединены параллельно, и этот блок последовательно соединен с третьей пружиной.

Жёсткость параллельного блока: $k_p = k + k = 2k = 600 \text{ Н/м}$.

Общая жёсткость системы:

$1/k_{общ} = 1/k_p + 1/k = 1/(2k) + 1/k = 3/(2k)$

$k_{общ} = 2k/3 = 2 \cdot 300 \text{ Н/м} / 3 = 200 \text{ Н/м}$

Удлинение системы:

$\Delta x_6 = F / k_{общ} = 6 \text{ Н} / 200 \text{ Н/м} = 0.03 \text{ м} = 3 \text{ см}$

Ответ: Жёсткость 200 Н/м, удлинение 3 см.

7. Смешанное соединение: две последовательные пружины параллельно с третьей

Две пружины соединены последовательно, и этот блок соединен параллельно с третьей пружиной.

Жёсткость последовательного блока: $1/k_s = 1/k + 1/k = 2/k \implies k_s = k/2 = 150 \text{ Н/м}$.

Общая жёсткость системы:

$k_{общ} = k_s + k = k/2 + k = 3k/2$

$k_{общ} = 3 \cdot 300 \text{ Н/м} / 2 = 450 \text{ Н/м}$

Удлинение системы:

$\Delta x_7 = F / k_{общ} = 6 \text{ Н} / 450 \text{ Н/м} \approx 0.0133 \text{ м} \approx 1.33 \text{ см}$

Ответ: Жёсткость 450 Н/м, удлинение ~1.33 см.

Таким образом, мастер может сделать системы пружин со следующими значениями жёсткости: 100 Н/м, 150 Н/м, 200 Н/м, 300 Н/м, 450 Н/м, 600 Н/м и 900 Н/м.