Номер 33, страница 93, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 8. Силы упругости - номер 33, страница 93.

Условие.

33. По окружности какого радиуса равномерно двигался бы шарик в ситуации, описанной в условии предыдущей задачи, если бы скорость шарика была равна 6 м/с?

Решение 2.

Для решения этой задачи необходимо использовать данные из предыдущей задачи, где рассматривалась ситуация с коническим маятником. В той задаче был дан шарик, подвешенный на нити длиной $L = 1 \text{ м}$, который равномерно вращался в горизонтальной плоскости. Этот параметр ($\text{L}$) мы используем для решения текущей задачи.

Дано

$L = 1 \text{ м}$

$v = 6 \text{ м/с}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$R - ?$

Решение

На шарик, движущийся по окружности, действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити. Пусть нить образует с вертикалью угол $\theta$.

Равнодействующая этих сил создает центростремительное ускорение. Разложим силу натяжения $\text{T}$ на вертикальную ($T_y$) и горизонтальную ($T_x$) составляющие.

По второму закону Ньютона в проекциях на оси:

1. На вертикальную ось (ось Y): Сумма сил равна нулю, так как шарик не движется по вертикали.

$T_y - mg = 0 \implies T \cos\theta = mg$

2. На горизонтальную ось (ось X), направленную к центру окружности: Горизонтальная составляющая силы натяжения является центростремительной силой.

$T_x = ma_c \implies T \sin\theta = m \frac{v^2}{R}$

где $\text{R}$ – радиус окружности, а $\text{v}$ – скорость шарика.

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить массу $\text{m}$ и силу натяжения $\text{T}$:

$\frac{T \sin\theta}{T \cos\theta} = \frac{m v^2/R}{mg} \implies \tan\theta = \frac{v^2}{gR}$

Из геометрии конического маятника мы знаем, что радиус $\text{R}$, высота конуса $\text{h}$ и длина нити $\text{L}$ связаны соотношениями:

$R = L \sin\theta$

$h = L \cos\theta$

Отсюда следует, что $\tan\theta = \frac{R}{h}$.

Приравняем два выражения для $\tan\theta$:

$\frac{R}{h} = \frac{v^2}{gR} \implies h = \frac{gR^2}{v^2}$

Также из геометрии следует теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного $\text{R}$, $\text{h}$ и $\text{L}$:

$R^2 + h^2 = L^2$

Подставим в это уравнение выражение для $\text{h}$:

$R^2 + \left(\frac{gR^2}{v^2}\right)^2 = L^2$

$R^2 + \frac{g^2}{v^4}R^4 = L^2$

Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $R^2$. Обозначим $y = R^2$ и перепишем его в стандартном виде:

$\frac{g^2}{v^4}y + y = L^2 \implies \left(\frac{g^2}{v^4} \right) y^2 + y - L^2 = 0$ (Опечатка в выводе, должно быть $\text{y}$ в первой степени. Верный вывод: $R^2(1 + \frac{g^2R^2}{v^4}) = L^2$ - это не квадратное уравнение относительно $R^2$. вернемся к $R^2 + \frac{g^2}{v^4}R^4 = L^2$.)Правильное уравнение: $\frac{g^2}{v^4}R^4 + R^2 - L^2 = 0$. Обозначим $y = R^2$, тогда:

$\frac{g^2}{v^4}y^2 + y - L^2 = 0$

Подставим числовые значения:

$g = 9,8 \text{ м/с}^2 \implies g^2 = 96,04 \text{ м}^2/\text{с}^4$

$v = 6 \text{ м/с} \implies v^4 = (6^2)^2 = 36^2 = 1296 \text{ м}^4/\text{с}^4$

$L = 1 \text{ м} \implies L^2 = 1 \text{ м}^2$

$\frac{96,04}{1296}y + y - 1 = 0 \implies 0,0741y^2 + y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\text{y}$:

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(0,0741)(-1)}}{2(0,0741)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 0,2964}}{0,1482} = \frac{-1 \pm \sqrt{1,2964}}{0,1482}$

Поскольку $y = R^2$ должно быть положительной величиной, выбираем корень со знаком "плюс":

$y = \frac{-1 + 1,1386}{0,1482} \approx \frac{0,1386}{0,1482} \approx 0,9352 \text{ м}^2$

Теперь найдем радиус $\text{R}$, взяв квадратный корень из $\text{y}$:

$R = \sqrt{y} = \sqrt{0,9352 \text{ м}^2} \approx 0,967 \text{ м}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $R \approx 0,97 \text{ м}$.

Ответ: Шарик двигался бы по окружности радиусом примерно $0,97 \text{ м}$.