Номер 7, страница 134, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 7, страница 134.

Условие.

°7. Используя определения ускорения и изменения импульса, докажите, что $\Delta \vec{p} = m \vec{a} \Delta t$, где $\vec{a}$ — ускорение тела.

Решение 2.

Решение

Для доказательства воспользуемся основными определениями из кинематики и динамики.

1. Определение изменения импульса.

Импульс тела (или количество движения) $\vec{p}$ — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела $\text{m}$ на его скорость $\vec{v}$:

$\vec{p} = m\vec{v}$

Изменение импульса $Δ\vec{p}$ за некоторый промежуток времени $Δt$ равно разности конечного импульса $\vec{p_2}$ и начального импульса $\vec{p_1}$:

$Δ\vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$

Пусть начальная скорость тела равна $\vec{v_1}$, а конечная — $\vec{v_2}$. Тогда:

$\vec{p_1} = m\vec{v_1}$

$\vec{p_2} = m\vec{v_2}$

Подставив эти выражения в формулу для изменения импульса, получим:

$Δ\vec{p} = m\vec{v_2} - m\vec{v_1}$

Вынесем массу $\text{m}$ за скобки (предполагая, что масса тела постоянна):

$Δ\vec{p} = m(\vec{v_2} - \vec{v_1})$

Разность векторов скоростей $(\vec{v_2} - \vec{v_1})$ есть не что иное, как изменение скорости $Δ\vec{v}$. Таким образом, мы получаем первое важное соотношение:

$Δ\vec{p} = mΔ\vec{v}$

2. Определение ускорения.

Ускорение $\vec{a}$ — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела. По определению, ускорение равно отношению изменения скорости $Δ\vec{v}$ к промежутку времени $Δt$, за который это изменение произошло:

$\vec{a} = \frac{Δ\vec{v}}{Δt}$

Из этого определения мы можем выразить изменение скорости $Δ\vec{v}$:

$Δ\vec{v} = \vec{a}Δt$

3. Доказательство.

Теперь подставим выражение для изменения скорости $Δ\vec{v}$ из определения ускорения в нашу формулу для изменения импульса:

$Δ\vec{p} = m(Δ\vec{v}) = m(\vec{a}Δt)$

В итоге получаем искомую формулу:

$Δ\vec{p} = m\vec{a}Δt$

Это выражение связывает изменение импульса тела с его массой, ускорением и временем. Оно является одной из форм записи второго закона Ньютона, так как $m\vec{a} = \vec{F}$, следовательно, $Δ\vec{p} = \vec{F}Δt$.

Ответ: Используя определение изменения импульса $Δ\vec{p} = m(\vec{v_2} - \vec{v_1}) = mΔ\vec{v}$ и определение ускорения $\vec{a} = \frac{Δ\vec{v}}{Δt}$, из которого следует, что $Δ\vec{v} = \vec{a}Δt$, путем подстановки получаем $Δ\vec{p} = m(\vec{a}Δt) = m\vec{a}Δt$, что и требовалось доказать.