Номер 23, страница 131, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 23, страница 131.

Условие.

23. На краю доски длиной 2 м и массой 2 кг, лежащей на гладком столе, покоится брусок массой 1 кг. Коэффициент трения между доской и бруском равен 0,1. К доске прикладывают горизонтально направленную силу, равную 6 Н (рис. 12.16).

а) Начнёт ли брусок скользить по доске? Обоснуйте свой ответ.

б) Если да, то через какой промежуток времени после начала действия силы он соскользнёт с доски?

Рис. 12.16

Решение 2.

Дано:

Длина доски $L = 2$ м

Масса доски $M = 2$ кг

Масса бруска $m = 1$ кг

Коэффициент трения $\mu = 0,1$

Приложенная сила $F = 6$ Н

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

а) Начнёт ли брусок скользить по доске?

б) Время $\text{t}$, через которое брусок соскользнёт с доски.

Решение

a) Начнёт ли брусок скользить по доске? Обоснуйте свой ответ.

Чтобы определить, начнётся ли скольжение, нужно сравнить ускорение системы «доска + брусок» (если бы они двигались как единое целое) с максимально возможным ускорением, которое сила трения покоя может сообщить бруску.

1. Найдём максимальную силу трения покоя, действующую на брусок. Она равна силе трения скольжения:

$F_{\text{тр.макс}} = \mu N$, где $\text{N}$ - сила нормальной реакции, равная весу бруска $mg$.

$F_{\text{тр.макс}} = \mu m g = 0,1 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 1 \text{ Н}$.

2. Максимальное ускорение, которое брусок может получить за счёт силы трения, согласно второму закону Ньютона:

$a_{\text{макс}} = \frac{F_{\text{тр.макс}}}{m} = \frac{1 \text{ Н}}{1 \text{ кг}} = 1 \text{ м/с}^2$.

3. Теперь предположим, что брусок и доска движутся вместе как единое целое. Найдём ускорение этой системы под действием силы $\text{F}$. Общая масса системы $M+m$.

$a_{\text{системы}} = \frac{F}{M+m} = \frac{6 \text{ Н}}{2 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{6 \text{ Н}}{3 \text{ кг}} = 2 \text{ м/с}^2$.

4. Сравним ускорения. Ускорение, которое пытается сообщить доска бруску ($a_{\text{системы}} = 2 \text{ м/с}^2$), больше, чем максимальное ускорение, которое может обеспечить сила трения ($a_{\text{макс}} = 1 \text{ м/с}^2$).

Поскольку $a_{\text{системы}} > a_{\text{макс}}$, сила трения покоя не сможет удержать брусок, и он начнёт скользить по доске.

Ответ: Да, брусок начнёт скользить, так как ускорение, которое внешняя сила пытается сообщить системе, превышает максимальное ускорение, которое сила трения может сообщить бруску.

б) Если да, то через какой промежуток времени после начала действия силы он соскользнёт с доски?

Поскольку брусок скользит, доска и брусок будут двигаться с разными ускорениями. Найдём ускорение каждого тела отдельно относительно стола.

1. Ускорение бруска ($a_{\text{б}}$). На брусок в горизонтальном направлении действует только сила трения скольжения $F_{\text{тр}} = \mu m g = 1 \text{ Н}$.

$a_{\text{б}} = \frac{F_{\text{тр}}}{m} = \frac{1 \text{ Н}}{1 \text{ кг}} = 1 \text{ м/с}^2$.

2. Ускорение доски ($a_{\text{д}}$). На доску в горизонтальном направлении действуют две силы: приложенная сила $\text{F}$, направленная вправо, и сила трения со стороны бруска $F_{\text{тр}}$, направленная влево (по третьему закону Ньютона).

$M a_{\text{д}} = F - F_{\text{тр}}$

$a_{\text{д}} = \frac{F - F_{\text{тр}}}{M} = \frac{6 \text{ Н} - 1 \text{ Н}}{2 \text{ кг}} = \frac{5 \text{ Н}}{2 \text{ кг}} = 2,5 \text{ м/с}^2$.

3. Брусок соскользнёт с доски, когда доска, двигаясь с большим ускорением, пройдёт расстояние, на $\text{L}$ большее, чем брусок. Движение обоих тел равноускоренное из состояния покоя. Путь, пройденный телом, $S = \frac{at^2}{2}$.

Путь доски: $S_{\text{д}} = \frac{a_{\text{д}}t^2}{2}$

Путь бруска: $S_{\text{б}} = \frac{a_{\text{б}}t^2}{2}$

Условие соскальзывания: $S_{\text{д}} - S_{\text{б}} = L$.

$\frac{a_{\text{д}}t^2}{2} - \frac{a_{\text{б}}t^2}{2} = L$

$\frac{(a_{\text{д}} - a_{\text{б}})t^2}{2} = L$

Выразим время $\text{t}$:

$t^2 = \frac{2L}{a_{\text{д}}-a_{\text{б}}}$

$t = \sqrt{\frac{2L}{a_{\text{д}}-a_{\text{б}}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \text{ м}}{2,5 \text{ м/с}^2 - 1 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{4}{1,5}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1,63 \text{ с}$.

Ответ: Брусок соскользнёт с доски через ≈1,63 с.