Номер 19, страница 130, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 19, страница 130.

Условие.

19. Бруски массами $m_1$ и $m_2$ связаны нитью, которая выдерживает силу натяжения $T_0$, и лежат на гладком горизонтальном столе. Первоначально нить расположена горизонтально. В некоторый момент времени к брускам прикладывают переменные силы так, как показано на рисунке 12.12. Зависимость модулей сил от времени $\text{t}$ выражается формулами $F_1 = \alpha t$ и $F_2 = 2\alpha t$. Через какой промежуток времени после начального момента нить разорвётся?

Рис. 12.12

Решение 2.

Дано:

Массы брусков: $m_1, m_2$

Максимальная сила натяжения нити: $T_0$

Зависимость сил от времени: $F_1 = \alpha t$, $F_2 = 2\alpha t$

Найти:

Время разрыва нити $\text{t}$

Решение:

Рассмотрим систему из двух брусков, связанных нитью, на гладком горизонтальном столе. Выберем ось Ox, направленную вправо. На бруски действуют внешние силы $\vec{F_1}$ (влево) и $\vec{F_2}$ (вправо), а также сила натяжения нити $\vec{T}$. Пока нить цела, бруски движутся с одинаковым ускорением $\text{a}$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого бруска в проекции на ось Ox:

Для бруска массой $m_1$:

$T - F_1 = m_1 a \quad (1)$

Для бруска массой $m_2$:

$F_2 - T = m_2 a \quad (2)$

Получили систему двух линейных уравнений относительно ускорения $\text{a}$ и силы натяжения $\text{T}$. Решим ее, чтобы найти $\text{T}$. Для этого выразим ускорение $\text{a}$ из первого уравнения и подставим во второе.

Из уравнения (1) получаем: $a = \frac{T - F_1}{m_1}$

Подставляем это выражение в уравнение (2):

$F_2 - T = m_2 \left( \frac{T - F_1}{m_1} \right)$

Умножим обе части на $m_1$ и раскроем скобки, чтобы выразить $\text{T}$:

$m_1 F_2 - m_1 T = m_2 T - m_2 F_1$

$m_1 F_2 + m_2 F_1 = T(m_1 + m_2)$

$T = \frac{m_1 F_2 + m_2 F_1}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим заданные в условии зависимости сил от времени: $F_1 = \alpha t$ и $F_2 = 2\alpha t$.

$T(t) = \frac{m_1(2\alpha t) + m_2(\alpha t)}{m_1 + m_2} = \frac{\alpha t (2m_1 + m_2)}{m_1 + m_2}$

Нить разорвется в момент времени $\text{t}$, когда сила натяжения $T(t)$ достигнет предельного значения $T_0$. Приравняем $T(t)$ к $T_0$:

$T_0 = \frac{\alpha t (2m_1 + m_2)}{m_1 + m_2}$

Отсюда находим искомое время $\text{t}$:

$t = \frac{T_0(m_1 + m_2)}{\alpha(2m_1 + m_2)}$

Ответ: $t = \frac{T_0(m_1 + m_2)}{\alpha(2m_1 + m_2)}$