Номер 12, страница 128, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 12, страница 128.

Условие.

12. На рисунке 12.9 изображена система тел. Стол гладкий, нить лёгкая и нерастяжимая, массы брусков $m_\text{H} = 0,5$ кг, $m_\text{B} = 0,3$ кг, масса груза $m_\text{г} = 0,2$ кг. В начальный момент груз придерживают, все тела покоятся. Трением в блоке и массой блока можно пренебречь. В некоторый момент груз отпускают без толчка.

Рис. 12.9

a) При каком коэффициенте трения между брусками они будут двигаться как единое целое?

б) Чему будут равны ускорения брусков, если коэффициент трения между ними равен 0,5?

в) Чему будут равны ускорения брусков, если коэффициент трения между ними равен 0,1?

Решение 2.

Дано:

$m_н = 0,5 \text{ кг}$

$m_в = 0,3 \text{ кг}$

$m_г = 0,2 \text{ кг}$

Стол гладкий.

Нить и блок невесомые, трения в блоке нет.

Найти:

а) $\mu$, при котором бруски движутся как единое целое.

б) $a_н, a_в$ при $\mu = 0,5$.

в) $a_н, a_в$ при $\mu = 0,1$.

Решение:

Примем ускорение свободного падения $g = 9,8 \text{ м/с}^2$.

а) При каком коэффициенте трения между брусками они будут двигаться как единое целое?

Если бруски движутся как единое целое, то у них одинаковое ускорение $\text{a}$. Мы можем рассматривать их как одно тело массой $M = m_н + m_в$. Вся система (два бруска и груз) будет двигаться с одинаковым ускорением $\text{a}$.

Запишем второй закон Ньютона для всей системы. Движущей силой является сила тяжести, действующая на груз $m_г$, а общая масса системы равна $m_{общ} = m_н + m_в + m_г$.

$m_г g = (m_н + m_в + m_г)a$

Отсюда находим ускорение системы:

$a = \frac{m_г g}{m_н + m_в + m_г} = \frac{0,2 \cdot 9,8}{0,5 + 0,3 + 0,2} = \frac{1,96}{1,0} = 1,96 \text{ м/с}^2$.

Теперь рассмотрим верхний брусок $m_в$. Его ускорение $\text{a}$ сообщает сила трения покоя $F_{тр}$, действующая на него со стороны нижнего бруска.

$F_{тр} = m_в a$

Бруски будут двигаться вместе, пока сила трения покоя не превысит своего максимального значения:

$F_{тр} \le F_{тр.макс}$

где $F_{тр.макс} = \mu N_в = \mu m_в g$. Сила нормальной реакции $N_в$ равна силе тяжести верхнего бруска $m_в g$.

Подставим выражения для сил:

$m_в a \le \mu m_в g$

$a \le \mu g$

Подставим найденное значение ускорения $\text{a}$ в это неравенство, чтобы найти условие для коэффициента трения $\mu$:

$\frac{m_г g}{m_н + m_в + m_г} \le \mu g$

$\mu \ge \frac{m_г}{m_н + m_в + m_г}$

Вычислим минимальное значение коэффициента трения:

$\mu \ge \frac{0,2}{0,5 + 0,3 + 0,2} = \frac{0,2}{1,0} = 0,2$

Таким образом, бруски будут двигаться как единое целое, если коэффициент трения между ними будет не меньше 0,2.

Ответ: Бруски будут двигаться как единое целое при $\mu \ge 0,2$.

б) Чему будут равны ускорения брусков, если коэффициент трения между ними равен 0,5?

Данный коэффициент трения $\mu = 0,5$. Сравним его с критическим значением, найденным в пункте а):

$0,5 > 0,2$

Поскольку условие $\mu \ge 0,2$ выполняется, бруски будут двигаться вместе, без проскальзывания. Их ускорения будут одинаковы и равны ускорению всей системы, которое мы уже рассчитали в пункте а).

$a_н = a_в = a = \frac{m_г g}{m_н + m_в + m_г} = 1,96 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Ускорения брусков равны $a_н = a_в = 1,96 \text{ м/с}^2$.

в) Чему будут равны ускорения брусков, если коэффициент трения между ними равен 0,1?

Данный коэффициент трения $\mu = 0,1$. Сравним его с критическим значением:

$0,1 < 0,2$

Условие для совместного движения не выполняется. Это означает, что верхний брусок будет проскальзывать относительно нижнего, и их ускорения $a_в$ и $a_н$ будут разными. Между брусками будет действовать сила трения скольжения.

Рассмотрим каждый брусок отдельно и запишем для них второй закон Ньютона.

1.Верхний брусок ($m_в$):

На него в горизонтальном направлении действует только сила трения скольжения $F_{тр.ск} = \mu m_в g$. Эта сила и сообщает ему ускорение $a_в$.

$\mu m_в g = m_в a_в$

$a_в = \mu g = 0,1 \cdot 9,8 = 0,98 \text{ м/с}^2$.

2.Нижний брусок ($m_н$) и груз ($m_г$):

Эти два тела связаны нерастяжимой нитью, поэтому их ускорения одинаковы по модулю: $a_н$. Рассмотрим их как систему.

На нижний брусок в горизонтальном направлении действуют: сила натяжения нити $\text{T}$ (вправо) и сила трения скольжения со стороны верхнего бруска $F_{тр.ск}$ (влево, по третьему закону Ньютона она равна по модулю силе, действующей на верхний брусок).

Для нижнего бруска: $T - \mu m_в g = m_н a_н$.

На груз в вертикальном направлении действуют: сила тяжести $m_г g$ (вниз) и сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх).

Для груза: $m_г g - T = m_г a_н$.

Мы получили систему из двух уравнений. Сложим их, чтобы исключить $\text{T}$:

$(T - \mu m_в g) + (m_г g - T) = m_н a_н + m_г a_н$

$m_г g - \mu m_в g = (m_н + m_г)a_н$

Выразим ускорение нижнего бруска $a_н$:

$a_н = \frac{g(m_г - \mu m_в)}{m_н + m_г}$

Подставим числовые значения:

$a_н = \frac{9,8 \cdot (0,2 - 0,1 \cdot 0,3)}{0,5 + 0,2} = \frac{9,8 \cdot (0,2 - 0,03)}{0,7} = \frac{9,8 \cdot 0,17}{0,7} = 14 \cdot 0,17 = 2,38 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Ускорение верхнего бруска $a_в = 0,98 \text{ м/с}^2$, ускорение нижнего бруска $a_н = 2,38 \text{ м/с}^2$.