Номер 7, страница 124, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 7, страница 124.

Условие.

7. Цилиндры массами $m_1 = 100$ г и $m_2 = 150$ г подвешены с помощью одного подвижного и одного неподвижного блоков (рис. 12.4). Нить лёгкая и нерастяжимая, трением в блоках и их массой можно пренебречь.

Рис. 12.4

а) Запишите соотношение между проекциями ускорений цилиндров.

б) Запишите второй закон Ньютона для каждого цилиндра в проекциях на ось $\text{x}$ в виде системы уравнений. Обозначьте модуль силы натяжения нити $\text{T}$.

в) Используя полученные уравнения, найдите выражения для проекций ускорений цилиндров через их массы.

г) Как направлены ускорения первого и второго цилиндров?

д) Выразите силу натяжения нити через массы цилиндров.

е) Чему равен вес каждого цилиндра?

Решение 2.

Дано

$m_1 = 100 \text{ г}$

$m_2 = 150 \text{ г}$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0.1 \text{ кг}$

$m_2 = 0.15 \text{ кг}$

Найти:

а) Соотношение между $a_{1x}$ и $a_{2x}$.

б) Систему уравнений второго закона Ньютона.

в) Выражения для $a_{1x}$ и $a_{2x}$.

г) Направления ускорений.

д) Выражение для силы натяжения нити $\text{T}$.

е) Вес каждого цилиндра $P_1$ и $P_2$.

Решение

Ось $\text{x}$ направлена вертикально вниз. Ускорение свободного падения обозначаем как $\text{g}$.

а) Запишите соотношение между проекциями ускорений цилиндров.

Система состоит из одного подвижного и одного неподвижного блока. Когда груз $m_2$ опускается на расстояние $x_2$, каждый из двух участков нити, удерживающих подвижный блок, удлиняется на $x_2$. Это означает, что общая длина нити, высвободившаяся для подъема груза $m_1$, составляет $2x_2$. Следовательно, перемещение груза $m_1$ будет в два раза больше перемещения груза $m_2$. Так как перемещения происходят в противоположных направлениях относительно друг друга, то же самое верно и для ускорений. Если $a_1$ и $a_2$ - модули ускорений, то $a_1 = 2a_2$. В проекциях на ось $\text{x}$, направленную вниз, это соотношение запишется как $a_{1x} = -2a_{2x}$.

Ответ: $a_{1x} = -2a_{2x}$.

б) Запишите второй закон Ньютона для каждого цилиндра в проекциях на ось x в виде системы уравнений. Обозначьте модуль силы натяжения нити T.

На первый цилиндр ($m_1$) действуют сила тяжести $m_1g$ (вниз, проекция положительна) и сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх, проекция отрицательна). Второй закон Ньютона для него:

$m_1 a_{1x} = m_1g - T$

На второй цилиндр ($m_2$) действуют сила тяжести $m_2g$ (вниз, проекция положительна) и две силы натяжения нити $\text{T}$ со стороны двух участков веревки, удерживающих подвижный блок (вверх, суммарная проекция $-2T$). Второй закон Ньютона для него:

$m_2 a_{2x} = m_2g - 2T$

Система уравнений:

$\begin{cases} m_1 a_{1x} = m_1g - T \\ m_2 a_{2x} = m_2g - 2T \end{cases}$

Ответ: $\begin{cases} m_1 a_{1x} = m_1g - T \\ m_2 a_{2x} = m_2g - 2T \end{cases}$

в) Используя полученные уравнения, найдите выражения для проекций ускорений цилиндров через их массы.

Мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($a_{1x}$, $a_{2x}$, $\text{T}$):

1) $a_{1x} = -2a_{2x}$

2) $m_1 a_{1x} = m_1g - T$

3) $m_2 a_{2x} = m_2g - 2T$

Из уравнения (2) выразим $\text{T}$: $T = m_1g - m_1a_{1x}$. Подставим сюда (1):

$T = m_1g - m_1(-2a_{2x}) = m_1g + 2m_1a_{2x}$

Теперь подставим это выражение для $\text{T}$ в уравнение (3):

$m_2 a_{2x} = m_2g - 2(m_1g + 2m_1a_{2x})$

$m_2 a_{2x} = m_2g - 2m_1g - 4m_1a_{2x}$

Соберем слагаемые с $a_{2x}$ в левой части:

$m_2 a_{2x} + 4m_1a_{2x} = m_2g - 2m_1g$

$a_{2x}(m_2 + 4m_1) = g(m_2 - 2m_1)$

Отсюда находим $a_{2x}$:

$a_{2x} = g \frac{m_2 - 2m_1}{m_2 + 4m_1}$

Теперь найдем $a_{1x}$ используя соотношение $a_{1x} = -2a_{2x}$:

$a_{1x} = -2g \frac{m_2 - 2m_1}{m_2 + 4m_1} = g \frac{2(2m_1 - m_2)}{m_2 + 4m_1} = g \frac{4m_1 - 2m_2}{m_2 + 4m_1}$

Ответ: $a_{1x} = g \frac{4m_1 - 2m_2}{m_2 + 4m_1}$, $a_{2x} = g \frac{m_2 - 2m_1}{m_2 + 4m_1}$.

г) Как направлены ускорения первого и второго цилиндров?

Чтобы определить направление, нужно подставить числовые значения масс в полученные выражения и определить знак проекций ускорений.

Для $a_{2x}$: $m_2 - 2m_1 = 0.15 \text{ кг} - 2 \cdot 0.1 \text{ кг} = 0.15 \text{ кг} - 0.2 \text{ кг} = -0.05 \text{ кг}$.

Знаменатель $m_2 + 4m_1$ всегда положителен. Так как числитель отрицателен, проекция $a_{2x}$ отрицательна ($a_{2x} < 0$). Это означает, что ускорение второго цилиндра направлено против оси $\text{x}$, то есть вертикально вверх.

Для $a_{1x}$: так как $a_{1x} = -2a_{2x}$ и $a_{2x} < 0$, то проекция $a_{1x}$ будет положительной ($a_{1x} > 0$). Это означает, что ускорение первого цилиндра направлено по оси $\text{x}$, то есть вертикально вниз.

Ответ: Ускорение первого цилиндра ($m_1$) направлено вниз, ускорение второго цилиндра ($m_2$) направлено вверх.

д) Выразите силу натяжения нити через массы цилиндров.

Воспользуемся ранее полученным выражением $T = m_1g + 2m_1a_{2x}$ и подставим в него выражение для $a_{2x}$:

$T = m_1g + 2m_1 \left( g \frac{m_2 - 2m_1}{m_2 + 4m_1} \right) = m_1g \left( 1 + \frac{2(m_2 - 2m_1)}{m_2 + 4m_1} \right)$

Приведем к общему знаменателю:

$T = m_1g \left( \frac{m_2 + 4m_1 + 2m_2 - 4m_1}{m_2 + 4m_1} \right) = m_1g \left( \frac{3m_2}{m_2 + 4m_1} \right)$

$T = \frac{3m_1m_2g}{m_2 + 4m_1}$

Ответ: $T = \frac{3m_1m_2g}{m_2 + 4m_1}$.

е) Чему равен вес каждого цилиндра?

Вес тела $\text{P}$ – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. По третьему закону Ньютона, она равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры или силе натяжения подвеса. В данном случае подвесом является нить.

Для первого цилиндра вес $P_1$ равен силе натяжения нити, которая его удерживает:

$P_1 = T = \frac{3m_1m_2g}{m_2 + 4m_1}$

Для второго цилиндра вес $P_2$ равен суммарной силе, с которой он действует на два участка нити, которые его удерживают через подвижный блок. Эта сила равна $2T$.

$P_2 = 2T = \frac{6m_1m_2g}{m_2 + 4m_1}$

Ответ: Вес первого цилиндра $P_1 = \frac{3m_1m_2g}{m_2 + 4m_1}$, вес второго цилиндра $P_2 = \frac{6m_1m_2g}{m_2 + 4m_1}$.